Sistema de cuatro condensadores

De Laplace

Revisión a fecha de 18:30 14 may 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: $C_1=30\,\mathrm{nF}$ , $C_2=60\,\mathrm{nF}$ , $C_3=120\,\mathrm{nF}$ y $C_4=40\,\mathrm{nF}$ . La diferencia de potencial entre A y B es de $12\,\mathrm{V}$ . ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E? Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.

Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

2 Antes de la conexión

Tenemos que, para cada uno de los condensadores de la rama superior se cumple

$V_A-V_D = \frac{Q_1}{C_1}\qquad\qquad V_D-V_B = \frac{Q_2}{C_2}$

pero, por estar el punto D desconectado de cualquier otra fuente o elemento, los dos condensadores $C 1$ y $C 2$ están en serie y la carga en ambos es la misma

$Q_1 = Q_2\qquad\Rightarrow\qquad V_A-V_B = \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)Q_1 = \frac{Q_1}{C_{12}}$

siendo $C 12$ la capacidad del condensador equivalente. Puesto que conocemos la diferencia de potencial total y la capacidad de cada condensador, podemos hallar la carga en cada uno

$\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\qquad\Rightarrow\qquad C_{12}=20\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad Q_1 = Q_2 = C_{12}\,(V_A-V_B) = 240\,\mathrm{nC}$

Una vez que tenemos la carga en cada uno, podemos hallar las respectivas diferencias de potencial

$V_D = V_D-\overbrace{V_B}^{=0} = \frac{Q_2}{C_2}=\frac{C_{12}}{C_2}\Delta V = \frac{240\,\mathrm{nC}}{60\,\mathrm{nF}}=4\,\mathrm{V}$

Operando del mismo modo hallamos la carga de los condensadores de la rama inferior

$C_{34}=\left(\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}\right)^{-1}= 30\,\mathrm{nF}\qquad\Rightarrow\qquad Q_3 = Q_4 = 30\,\mathrm{nF}\times 12\,\mathrm{V} =360\,\mathrm{nC}$

y el voltaje del punto E

$V_E = \frac{Q_4}{C_4}=\frac{C_{34}}{C_4}(V_A-V_B) = 9\,\mathrm{V}$

Por tanto la diferencia de potencial entre ambos puntos es

$V_D - V_E = 4\,\mathrm{V}-9\,\mathrm{V}=-5\,\mathrm{V}$

Las cargas de cada uno de los condensadores son, según se ha dicho

$Q_1 = Q_2 = 240\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = Q_4 = 360\,\mathrm{nC}$

y las diferencias de potencial respectivas

$\Delta V_1 = V_A-V_D = 12\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V_2 = V_D-V_B = 4\,\mathrm{V}$ $\Delta V_3 = V_A-V_E = 3\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_4 = V_E-V_B = 9\,\mathrm{V}$

3 Después de la conexión

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1 Enunciado

2 Antes de la conexión

3 Después de la conexión

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