Energía electrostática de un sistema de cargas puntuales

De Laplace

Revisión a fecha de 13:48 27 abr 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

$q_1=q_2=q_3=q_4=+60\,\mathrm{nC}$ .
$q_1=q_2=q_3=q_4=-60\,\mathrm{nC}$ .
$q_1=q_3=+60\,\mathrm{nC}$ , $q_2=q_4=-60\,\mathrm{nC}$ .
$q_1=q_2=+60\,\mathrm{nC}$ , $q_3=q_4=-60\,\mathrm{nC}$ .
$q_1=q_4=+60\,\mathrm{nC}$ , $q_2=q_3=-60\,\mathrm{nC}$ .

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo

$\vec{r}_1 = \vec{0}\qquad \vec{r}_2 = 3\vec{\imath}\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_3 = (3\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_2 = 4\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}$

2 Solución

La energía de un sistema de cargas puntuales se calcula mediante la fórmula

$U = \frac{1}{2}\sum_i q_i V'(\vec{r}_i)$

Siendo $V'(\vec{r}_i)$ el potencial creado por el resto de las cargas en la posición de la carga i. A su vez, este potencial viene dado por la suma

$V'(\vec{r}_i)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{k\neq i}\frac{q_k}{d_{ik}}$

siendo $d i k$ la distancia entre $q i$ y $q k$ .

En este problema las posiciones son las mismas en todos los casos. Las distancias respectivas valen

$d_{12}=d_{34}=3\,\mathrm{cm}\qquad d_{13}=d_{24}=\sqrt{3^2+4^2}\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}\qquad d_{14}=d_{23}=4\,\mathrm{cm}$

Llevando la expresión del potencial a la de la energía queda

$\begin{array}{rcl}U & = & \displaystyle \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(q_1\left(\frac{q_2}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{13}}+\frac{q_4}{d_{14}}\right)+q_2\left(\frac{q_1}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{24}}\right)\right. +\\ && \\ & + & \displaystyle \left. q_3\left(\frac{q_1}{d_{13}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{34}}\right)+q_4\left(\frac{q_1}{d_{14}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_3}{d_{34}}\right)\right)\end{array}$

Agrupando términos y teniendo en cuenta que las cargas se encuentran en un rectángulo, de forma que varias de las distancias son coincidnetes queda

$U = \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2+q_3q_4}{d_{12}}+\frac{q_1q_3+q_2q_4}{d_{13}}+\frac{q_1q_4+q_2q_3}{d_{14}}\right)$

Sustituimos los valores numéricos, para lo cual medimos las distancias en centímetros y las cargas en nanoculombios, quedando la energía en Julios

$U = 900\left(\frac{q_1q_2+q_3q_4}{3}+\frac{q_1q_3+q_2q_4}{5}+\frac{q_1q_4+q_2q_3}{4}\right)=300(q_1q_2+q_3q_4)+180(q_1q_4+q_2q_3)+225(q_1q_4+q_2q_3)$

El 900 que precede a la expresión resulta de multiplicar $9\times 10^9$ por $10 - 9$ de los nanoculombios y por 100 de los centímetros.

Sustituyendo ahora los diferentes valores queda la siguiente tabla:

I	II	III	IV	V

Caso	$q 1$ (nC)	$q 2$ (nC)	$q 3$ (nC)	$q 4$ (nC)	$U$ (kJ)
I	+60	+60	+60	+60	5076
II	−60	−60	−60	−60	5076
III	+60	−60	+60	−60	−2484
IV	+60	+60	−60	−60	−756
V	+60	−60	−60	+60	−1836

La energía en el primer y el segundo caso son idénticas, ya que si cambiamos el signo de todas las cargas sus productos conservan el mismo signo, resultando la misma energía.

A partir de esta tabla podemos ver, por ejemplo, si partimos del tercer caso, qué trabajo costaría intercambiar la carga 2 con la carga 3. En ese caso el estado final sería el cuarto caso y el trabajo necesario la diferencia entre los dos valores de la energía.

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