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Energía electrostática de un sistema de cargas puntuales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

  1. q_1=q_2=q_3=q_4=+60\,\mathrm{nC}.
  2. q_1=q_2=q_3=q_4=-60\,\mathrm{nC}.
  3. q_1=q_3=+60\,\mathrm{nC}, q_2=q_4=-60\,\mathrm{nC}.
  4. q_1=q_2=+60\,\mathrm{nC}, q_3=q_4=-60\,\mathrm{nC}.
  5. q_1=q_4=+60\,\mathrm{nC}, q_2=q_3=-60\,\mathrm{nC}.

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo

\vec{r}_1 = \vec{0}\qquad \vec{r}_2 = 3\vec{\imath}\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_3 = (3\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_2 = 4\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}

2 Introducción

La energía de un sistema de cargas puntuales se calcula mediante la fórmula

U = \frac{1}{2}\sum_i q_i V'(\vec{r}_i)

Siendo V'(\vec{r}_i) el potencial creado por el resto de las cargas en la posición de la carga i. A su vez, este potencial viene dado por la suma

V'(\vec{r}_i)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{k\neq i}\frac{q_k}{d_{ik}}

siendo dik la distancia entre qi y qk.

En este problema las posiciones son las mismas en todos los casos. Las distancias respectivas valen

d_{12}=d_{34}=3\,\mathrm{cm}\qquad d_{13}=d_{24}=\sqrt{3^2+4^2}\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}\qquad d_{14}=d_{23}=4\,\mathrm{cm}

Llevando la expresión del potencial a la de la energía queda

\begin{array}{rcl}U & = & \displaystyle \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(q_1\left(\frac{q_2}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{13}}+\frac{q_4}{d_{14}}\right)+q_2\left(\frac{q_1}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{24}}\right)\right. +\\ && \\ & + & \displaystyle \left. q_3\left(\frac{q_1}{d_{13}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{34}}\right)+q_4\left(\frac{q_1}{d_{14}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_3}{d_{34}}\right)\right)\end{array}

Agrupando términos y teniendo en cuenta que las cargas se encuentran en un rectángulo, de forma que varias de las distancias son coincidnetes queda

U = \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2+q_3q_4}{d_{12}}+\frac{q_1q_3+q_2q_4}{d_{13}}+\frac{q_1q_4+q_2q_3}{d_{14}}\right)

Sustituimos los valores numéricos, para lo cual medimos las distancias en centímetros y las cargas en nanoculombios, quedando la energía en Julios

U = 900\left(\frac{q_1q_2+q_3q_4}{3}+\frac{q_1q_3+q_2q_4}{5}+\frac{q_1q_4+q_2q_3}{4}\right)=300(q_1q_2+q_3q_4)+180(q_1q_4+q_2q_3)+225(q_1q_4+q_2q_3)

El 900 que precede a la expresión resulta de multiplicar 9\times 10^9 por 10 − 9 de los nanoculombios y por 100 de los centímetros.

3 Primer caso

4 Segundo caso

5 Tercer caso

6 Cuarto caso

7 Quinto caso

8 Resumen

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_electrost%C3%A1tica_de_un_sistema_de_cargas_puntuales"

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