Potencial eléctrico en el eje de un anillo

De Laplace

Revisión a fecha de 21:31 26 abr 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Potencial eléctrico
3 Trabajo para traer una carga positiva
4 Movimiento de una carga negativa

1 Enunciado

Halle el potencial eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio 1.00 cm sobre el cual hay distribuida una carga de 10.0 nC, como función de la distancia $z$ al plano del anillo.

¿Qué trabajo es necesario realizar para llevar una carga de 2 nC desde el infinito hasta el centro de este anillo?

Supongamos que en lugar de una carga positiva tenemos una de −2 nC que solo puede moverse a lo largo del eje del anillo y que se suelta en reposo a una distancia $z= 1.0\,\mathrm{mm}$ del centro del anillo, ¿qué tipo de movimiento describe esta carga?

2 Potencial eléctrico

El potencial debido a una distribución de carga, como el campo eléctrico puede calcularse sumando la contribución de elementos de carga. Si suponemos el origen de potencial en el infinito,

$\mathrm{d}V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{d_{AP}}$

siendo $V P$ el potencial en el punto P, $d q$ la carga contenida en un elemento situado en el punto A y $d A P$ la distancia entre los dos puntos.

En el caso del anillo, dividimos la circunferencia en porciones diferenciales, cada una de las cuales almacena una carga

$\mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}l=\frac{Q}{L}\mathrm{d}l$

Para un punto del eje del anillo, todos los puntos de éste se encuentran a la misma distancia

$d_{AP}=\sqrt{R^2+z^2}$

de manera que la integral que nos da el potencial en el punto P es

$V_P = V(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{d_{AP}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(Q/L)\mathrm{d}l}{\sqrt{d^2+R^2}}$

En esta integral, todos los factores son independientes del punto del anillo que tomemos, por lo que pueden extraerse de la integral y esta se reduce a

$V(z) = \frac{Q/L}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}\int \mathrm{d}l=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}$

Este potencial posee un máximo en el centro del anillo y a partir de ahí decae al alejarnos de éste.

El valor del potencial en el centro del anillo es igual a

$V(0) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}=9\times 10^9\times\frac{10^{-8}}{0.01}\,\mathrm{V}=9\,\mathrm{kV}$

Vemos no hacen falta cargas muy grandes para producir voltajes elevados.

3 Trabajo para traer una carga positiva

El trabajo para mover una carga puntual en un campo externo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final

$W_\mathrm{in}=q(V_f-V_i)\,$

En este caso el punto inicial es el infinito, que hemos tomado como origen de potencial y el final es el centro del anillo, cuyo voltaje acabamos de calcular. Por tanto

$W_\mathrm{in}= 2\times 10^{-9}\times (9\times 10^3-0)\,\mathrm{J}=18\,\mu\mathrm{J}$

4 Movimiento de una carga negativa

Potencial eléctrico en el eje de un anillo

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2 Potencial eléctrico

3 Trabajo para traer una carga positiva

4 Movimiento de una carga negativa

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