Dipolo eléctrico en distribución esférica de carga (F2GIA)
De Laplace
1 Enunciado
Un gas ionizado encerrado en una esfera puede modelarse como una distribución de carga con densidad volumétrica uniforme de valor ρ0. En su interior hay una molécula de agua, con carga total nula, pero que puede considerarse como un dipolo formado por dos cargas opuestas, ambas de valor absoluto 2e, separadas una distancia δ. Si inicialmente la molécula está situada en el punto central O de la distribución de carga, ¿Qué ocurre después?
2 Solución
En el interior de una esfera con carga eléctrica uniformemente distribuida en su volumen, el campo eléctrico tiene simetría radial, y su magnitud o intensidad en un punto es proporcional a la distancia r desde dicho punto al centro de la distribución O. Si la densidad volumétrica de carga es ρ0, el campo en un punto P arbitrario del interior de la distribución es,
y siendo 
el vector unitario en la dirección y sentido del segmento orientado 
.
El dipolo eléctrico está caracterizado por su momento dipolar. Es esta una magnitud vectorial cuya dirección y sentido está determinada por el segmento orientado que, en el caso bajo estudio, va desde la posición de la carga − 2e a la de la carga positiva + 2e. Cuando decimos que el dipolo se encuentra situado en el centro O de la distribución de carga, es que allí está el punto medio del sistema formado por la dos cargas. En esta situación, ambas cargas se encuentran simétricamente dispuestas respecto de O, en puntos de un mismo diámetro, por lo que posición de las cargas vendrá dada por los vectores:
... donde 
indica la dirección arbitraria del dipolo cuando se coloca en el punto O. Su momento dipolar en dicha posición será:
Y en esta posición, el campo eléctrico no ejerce momento o par de fuerzas alguno,pues el campo eléctrico creado por la distribución uniforme de carga en el punto O es nulo:
Por tanto, si la molécula de agua se deja en reposo en el punto O, no va a realizar movimiento de rotación alguno. Sin embargo, para determinar si permanece en dicho punto en estado de reposo absoluto, hemos de determinar si la molécula/dipolo está sometida a una fuerza resultante nula.
Cada una de las dos cargas que componen el dipolo tiene carácter puntual, por tanto, al encontrarse en el seno de un campo eléctrico, se ejercerán sobre ellas sendas fuerzas 
y 
, que serán iguales al producto de la correspondiente carga por el valor del campo eléctrico en la posición que ocupa. La fuerza total ejercida sobre el dipolo será la suma de estas dos fuerzas. Cuando la partícula se halla en el punto O, se tendrá:
![\left.\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{F}_e^+\big\rfloor_{O}=2e\!\ \mathbf{E}(O^+)\\ \\
\displaystyle\mathbf{F}_e^-\big\rfloor_{O}=-2e\!\ \mathbf{E}(O^-)\end{array}\right\}
\;\;\Longrightarrow\quad\mathbf{F}_e\big\rfloor_{O}=\left[\mathbf{F}_e^++\mathbf{F}_e^-\right]_O=2e\!\ \big[\mathbf{E}(O^+)-\mathbf{E}(O^-)\big]](/wiki/images/math/1/7/0/170a6d69f0feae93ec64e8c137c11023.png)
Obsérvese que cuando el dipolo encuentra en el punto O, las cargas + 2e y − 2e se encentran ambas a una distancia r = δ / 2 del centro de la distribución. Así, aunque δ va a ser un número muy pequeño (del orden de 
en el caso de la molécula de agua) es distinto de cero y, en consecuencia, ambas cargas están sometidas a la acción de un (débil) campo eléctrico. Pero obsérvese que en los puntos simétricos O + y O − , el campo eléctrico tendrá igual módulo y dirección, pero sentidos contrarios, por lo que el dipolo se verá sometido a una fuerza neta no nula:
Por tanto, si la carga distribuida uniformemente es positiva (ρ0 > 0), la molécula/dipolo (inicialmente en reposo) comezará a desplazarse en la dirección y con el sentido de su momento dipolar.
