Producción de entropía por descompresión

De Laplace

Revisión a fecha de 22:20 23 mar 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura y volumen
3 Entropía
4 Exergía

1 Enunciado

Se tiene un cilindro de 20 cm de diámetro tapado por un émbolo situado inicialmente a 14 cm del fondo. En el interior del émbolo se encuentra aire comprimido a 4.0 bares, siendo la presión exterior 100 kPa. La temperatura exterior y la inicial del aire de la cámara es 294 K. Las paredes del cilindro y el pistón son completramente adiabáticos.

Inicialmente, el pistón está sujeto por un perno, que se libera bruscamente, produciéndose una expansión abrupta.

Calcule la posición final del émbolo, una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio, la temperatura final del aire y la variación de entropía en el proceso. Halle la variación en la exergía del gas en el proceso.

2 Temperatura y volumen

Inicialmente tenemos el gas a una presión $p 1$ , ocupando un volumen $V 1$ y con una temperatura $T 1 = T 0$ siendo $T 0$ la temperatura exterior. Una vez que se libera el pistón el gas se expande debido a la diferencia de presiones. El estado final se caracteriza porque $p 2 = p 0$ , siendo $p 0$ la presión exterior. El volumen final será $V 2$ . La temperatura final $T 2$ no tiene por qué coincidir con la inicial, pues al estar el recipiente aislado térmicamente no se alcanza el equilibrio térmico con el exterior.

Se cumple la relación

$T_1=T_0\qquad\qquad p_2=p_0\qquad\qquad \frac{p_1V_1}{T_0}=\frac{p_0V_2}{T_2}=nR$

Obtenemos el estado final aplicando el primer principio de la termodinámica.

La presión exterior es en todo momento la atmosférica, por lo que el trabajo realizado sobre el gas vale

$W = -\int_{V_1}^{V_2}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V=-p_0(V_2-V_1)$

Este trabajo será negativo, pues en realidad es el gas el que lo realiza.

Al ser las paredes adiabáticas, no existe transferencia de calor con el exterior y el calor que entra en el sistema es nulo

$Q=0\,$

Por tanto, el trabajo realizado sobre el sistema corresponde a una variación de su energía interna

$\Delta U = nc_v(T_2-T_0)\,$

cumpliéndose

$\overbrace{Q}^{=0}+W = \Delta U \qquad\Rightarrow\qquad -p_0(V_2-V_1) = nc_v(T_2-T_0)$

Podemos poner el segundo miembro en términos de la presión y el volumen del gas

$c_v = \frac{R}{\gamma-1}\qquad\Rightarrow\qquad nc_v(T_2-T_0)=\frac{nRT_2-nRT_0}{\gamma-1}=\frac{p_0V_2-p_1V_1}{\gamma-1}$

lo que nos da la ecuación para el volumen final

$-p_0(V_2-V_1) = \frac{p_0V_2-p_1V_1}{\gamma-1}\qquad\Rightarrow\qquad V_2=\frac{p_1+(\gamma-1)p_0}{\gamma p_0}V_1$

y de aquí obtenemos la temperatura final

$T_2 = \frac{p_0V_2}{p_1V_1}T_0 = \frac{p_1+(\gamma-1)p_0}{\gamma p_1}T_0$

El valor numérico de la altura final del pistón es

$h_2 = \frac{V_2}{S}=\frac{p_1+(\gamma-1)p_0}{\gamma p_0}h_1 = \frac{4.0+(1.4-1)}{1.4}14\,\mathrm{cm}= 44\,\mathrm{cm}$

y la temperatura final del aire

$T_2=\frac{4.0+(1.4-1)}{1.4\cdot 4}294\,\mathrm{K}= 231\,\mathrm{K}$

Vemos que en la expansión la temperatura desciende bruscamente en 63 grados. Este es un ejemplo de enfriamiento adiabático. Siempre que un gas se expande bruscamente como ocurre en la válvula de expansión de un refrigerador, su temperatura cae, quedando, como en este caso, muy por debajo de la del ambiente.

3 Entropía

4 Exergía

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