Propiedades dinámicas de un sólido rígido

De Laplace

Revisión a fecha de 17:42 28 dic 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Masa
3 Cantidad de movimiento
4 Momento cinético
5 Momento de inercia
6 Energía cinética
7 Energía potencial

1 Introducción

A la hora de establecer las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido se debe, en primer lugar, definir qué magnitudes lo caracterizan, para poder escribir correctamente las ecuaciones de evolución.

2 Masa

En cinemática del sólido rígido no es necesario considerar la extensión real del sólido. Puede describirse el campo de velocidades suponiendo que se extiende a todos los puntos del espacio tanto interiores como exteriores al sólido, sin importar si en estos puntos existe una partícula material o no.

En dinámica, en cambio, sí es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen $V$ que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas $m i$ de forma que el sólido posee una masa total

$M = m_1+m_2+\cdots = \sum_i m_i$

Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen $d V$ existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa

$\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y

$M = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V = \rho_0\int_V\mathrm{d}V = \rho_0V$

Así para sólidos homogéneos de formas:

Paralelepípedo:

$M = \rho abc\,$

Cilindro

$M = \pi\rho R^2 h\,$

Esfera

$M = \frac{4\pi}{3}\rho R^3\,$

En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, $σ$ ,

$\mathrm{d}m = \sigma\,\mathrm{d}S\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_S \sigma(\vec{r})\,\mathrm{d}S$

que, para el caso de un sólido homogéneo nos da

$M = \sigma\,S$

Así, por ejemplo, para una hoja tamaño A4 de 80 g/m² su masa es

$M = \sigma b h = 80\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}(210\,\mathrm{mm})(297\,\mathrm{mm})\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}\right)^2 = 5.0\,\mathrm{g}$

Aplicando las fórmulas del área de una superficie cilíndrica o esférica obtenemos las masas

$M = 2\pi\sigma\,R\,h\quad\mbox{(cilindro)}\qquad\qquad M = 4\pi\sigma R^2\quad\mbox{(esfera)}$

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sólido es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots$

Por tratarse de un sólido, estas velocidades verifican el teorema de Chasles

$\vec{v}_i = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_i$

lo cual, al sustituir en la expresión de la cantidad de movimiento nos da

$\vec{p}=\left(m_1+m_2+\cdots\right)\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(m_1\vec{r}_1+m\vec{r}_2+\cdots\right)$

El primero de los dos paréntesis es la masa total del sólido, mientras que el segundo nos da la posición del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(M\vec{r}_c\right)=M\left(\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_c\right)$

Por otro lado, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se relaciona con la velocidad del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_c$

Igualando ambas expresiones obtenemos la velocidad del centro de masas del sólido

$\vec{v}_c = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_c$

Esta igualdad simplemente nos dice que el centro de masas se mueve rígidamente con el sólido estando siempre en la misma posición relativa a éste (aunque el CM puede no coincidir con ninguna de las partículas del sólido, se mueve como una más de ellas).

4 Momento cinético

El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{L}_O=m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2 + \cdots$

Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas

$\vec{L}_O=M\vec{r}_c\times\vec{v}_c + \vec{L}'$

siendo

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2$

Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido,

$\vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{\omega}\times(\vec{r}_i-\vec{r}_c)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\,,}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}$

nos queda

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_1^{\,,})+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_2^{\,,})$

Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que solo consideraremos los casos más sencillos.

Supongamos una partícula $m 1$ que describe una circunferencia de radio $R 1$ en torno al CM con velocidad angular $\vec{\omega}$ . El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|\vec{L}'_1| = m_1|\vec{r}'_1||\vec{v}'_1| = m_1(R_1)(\omega R_1) = m_1R_1^2\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

$\vec{L}'_1 = m_1R_1^2\vec{\omega}$

Si ahora consideramos un sólido simétrico (como un disco, una esfera o un cilindro) que gira en torno un eje dado que pasa por el CM, cada uno de los puntos ontribuye de manera análoga y el momento cinético total respecto al CM vale

$\vec{L}'=\left(m_1R_1^2+m_2R_2^2+\cdots\right)\vec{\omega}=I\vec{\omega}$

siendo $R i$ la distancia de cada punto al eje e $I$ una nueva magnitud conocida como momento de inercia (que se discute con más detalle más adelante).

Esta igualdad nos dice que el momento cinético de un sólido simétrico respecto a un eje que pasa por su CM es proporcional a la velocidad angular con la que gira, de manera análoga a cómo la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad del CM. La constante de proporcionalidad es el momento de inercia, que desempeña el papel de la masa en cuanto a medida de la inercia del sólido respecto a una rotación.

La igualdad anterior no siempre es cierta, ya que para una partícula el momento cinético respecto a un punto que no es el centro de la circunferencia que describe (aunque sea del eje de rotación) no será en general paralelo a la velocidad angular. Sólo para sólidos que tienen este eje como de simetría se cancelan las componentes no paralelas y resulta una situación de paralelismo entre $\vec{L}'$ y $\vec{\omega}$ .

5 Momento de inercia

Dado un sólido rígido, se define su momento de inercia respecto a un eje como la cantidad

$I = \sum_i m_1 R_i^2\,$

donde $R i$ es la distancia de una partícula $m 1$ al eje. En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

$I = \int_M \left(R(\vec{r})\right)^2\,\mathrm{d}m$

donde $R$ será en general diferente para cada elemento de masa $d m$ .

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momentos de inercia

$I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad I_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

Así por ejemplo, para una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$ , el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

$I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = MR^2$

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio $R$ y altura $h$ , su momento de inercia es igual a

$I_{zz}=\int_M r^2\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V$

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio $r$ y espesor $d r$ , cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

$\mathrm{d}V = S(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r$

Llevando esto al momento de inercia nos queda

$I_{zz} = \int_0^R \rho(r^2)(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}$

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2$

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que estos resultados no dependen de la altura del cilindro también son aplicables al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña) y de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

5.1 Teorema de Steiner

El momento de inercia puede definirse respecto a un eje arbitrario, que no necesariamente debe pasar por el centro de masas del sólido. No obstante, los ejes que pasan por el CM tienen propiedades particulares.

Consideremos dos ejes paralelos: uno que pasa por el CM y uno situado a una distancia $d$ del primero. Sea $I C$ el momento de inercia respecto al eje que pasa por el CM e $I$ el momento de inercia respecto al eje paralelo. Buscamos una relación entre estas dos cantidades.

Si consideramos el eje Z como el paralelo al que pasa por el Cm el momento de inercia se puede escribir