Rapidez y tensión de un péndulo

De Laplace

Revisión a fecha de 14:08 27 nov 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Valor exacto
3 Valor aproximado
- 3.1 Valor exacto
4 Comparación

1 Enunciado

Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa $m$ y longitud $L$ pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo $θ 0$ con el que se separa de la vertical.

Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para $\theta_0=10^\circ$ , $\theta_0=20^\circ$ ,… $\theta_0=90^\circ$

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical. en función del ángulo $θ 0$

2 Valor exacto

La lenteja del péndulo está sometida a dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda.

La tensión va siempre a lo largo de la propia cuerda y es por tanto perpendicular al desplazamiento en todo momento. Esto quiere decir que no realiza trabajo y no interviene en la ley de conservación de la energía.

La única energía potencial que debemos considerar es entonces la debida al peso. Tomando como origen de potencial el punto más bajo del péndulo, el valor de la energía potencial para una separación arbitraria $θ$ vale

U = m g z = m g L (1 - cos(θ))

Cuando consideramos oscilaciones del péndulo, el punto de máxima amplitud es uno de velocidad nula (alcanza un estado de reposo instantáneo a partir del cual se da la vuelta). Igualando la energía mecánica de este punto a la que tiene en elpunto mas bajo obtenemos la igualdad

$E = 0 + mgL(1-\cos\theta_0)=\frac{1}{2}m v_\mathrm{max}^2 0\,$

Obtenemos la velocidad máxima

$v_\mathrm{max} = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)}$

Esta expresión se puede simplificar un poco observando que

$\frac{1-\cos(\theta_0)}{2} = \mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)$

lo que da

$v_\mathrm{max} = 2\sqrt{gL}\mathrm{sen}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)$

3 Valor aproximado

Un péndulo obedece la ecuación de movimiento $\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\mathrm{sen}\,\theta$

siendo $θ$ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación

$\mathrm{sen}\,\theta\simeq\theta \qquad\theta\ll 1$

lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico

$\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta$

Cuando parte del reposo, desde una cierta separación $θ 0$ , el ángulo sigue una ley cosenoidal

$\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,$

La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es

$v = l\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -l\omega\theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)$

El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo

$v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0= \sqrt{gl}\,\theta_0$

3.1 Valor exacto

4 Comparación

El cociente entre el valor aproximado y el exacto es

$\frac{v_\mathrm{ap}}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0}{\sqrt{2(1-\cos\theta_0)}} = \frac{\theta_0/2}{\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}$

donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que

$\mathrm{sen}\,(x) < x\qquad \forall x > 0$

esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto.

El error relativo cometido en la aproximación es

$\epsilon = \frac{|v_\mathrm{ap}-v_\mathrm{ex}|}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0/2-\,\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}{\mathrm{sen}\,(\theta/2)}$

Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado

$θ 0$ (°)	$θ 0$ (rad)	$\epsilon\ (\%)$
1	π/180	0.00127
10	π/10	0.127
30	π/6	1.15
60	π/3	4.72
90	π/2	11.07

Vemos que, en general la aproximación es bastante buena y que incluso para ángulos tan grandes como 60° el error es inferior al 5 %.

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