Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

De Laplace

Revisión a fecha de 21:08 5 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

2 Solución

Ante este problema existe la tentación de “pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo”. Algo así como

$\vec{X}=\frac{k}{\vec{A}}\qquad \mbox{INCORRECTO}$

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

$(\vec{A}\times\vec{X})\times\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{A})\vec{X}-(\vec{A}\cdot\vec{X})\vec{A}$

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

$\vec{C}\times\vec{A}=|\vec{A}|^2\vec{X}-k\vec{A}$

y de aquí sí podemos despejar $\vec{X}$ , por estar multiplicado por un escalar

$\vec{X}=\frac{\vec{C}\times\vec{A}}{|\vec{A}|^2}+\frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}$

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

3 Interpretación geométrica

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