Dos placas conductoras y una densidad de carga intermedia

De Laplace

Revisión a fecha de 21:29 2 jul 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección $S$ , se encuentran situadas a una distancia $a$ la una de la otra. La placa inferior se pone a una tensión $V 1$ , mientras que la superior se encuentra a tensión $V 2$ . El espacio entre las placas está ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme $ρ 0$ .

Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

2 Solución

2.1 Potencial y campo eléctrico

2.1.1 Potencial

En este problema debemos resolver la ecuación de Poisson

$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial z} = -\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}$

con condiciones de contorno de Dirichlet

$\phi = V_0\quad (z=0)$ $\phi=0\quad(z=a)$

Dado que ni la densidad de carga ni las condiciones de contorno dependen de $x$ ni de $y$ , salvo en el hecho de que las placas tienen una extensión $S$ , podemos hacer la aproximación de despreciar los efectos de borde y suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada $z$ . Esto reduce la ecuación de Poisson a

$\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2}=-\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}$

con solución

$\phi = -\frac{\rho_0 z^2}{2\varepsilon_0}+ A z + B$

Las constantes $A$ y $B$ las obtenemos de las condiciones de contorno

$V_0 = B\,$ $0 = -\frac{\rho_0 a^2}{2\varepsilon_0}+ Aa + B$

resultando finalmente las constantes y el potencial

$B = V_0\,$ $A = \frac{\rho a}{2\varepsilon_0}-\frac{V_0}{a}$ $\phi = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0} + V_0\left(1-\frac{z}{a}\right)$

Esta solución puede escribirse como la superposición

φ = φ 0 + V 0 φ 1

$\phi_0 = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0}$ $\phi_1 = 1-\frac{z}{a}$

siendo $\phi_0\,$ el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. $\phi_1\,$ representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.