Dos placas conductoras y una densidad de carga intermedia

De Laplace

1 Enunciado

Dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección S, se encuentran situadas a una distancia $a$ la una de la otra. La placa inferior se pone a una tensión V₁, mientras que la superior se encuentra a tensión V₂. El espacio entre las placas está ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme ρ₀.

1. Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
2. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
3. Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

2 Solución

2.1 Potencial y campo eléctrico

2.1.1 Potencial

En este problema debemos resolver la ecuación de Poisson

con condiciones de contorno de Dirichlet

    

Dado que ni la densidad de carga ni las condiciones de contorno dependen de x ni de y, salvo en el hecho de que las placas tienen una extensión S, podemos hacer la aproximación de despreciar los efectos de borde y suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada z. Esto reduce la ecuación de Poisson a

con solución

Las constantes A y B las obtenemos de las condiciones de contorno

    

resultando finalmente las constantes y el potencial

        

Esta solución puede escribirse como la superposición

φ = φ₀ + V₀φ₁         

siendo φ₀ el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. φ₁ representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.

2.1.2 Campo

2.2 Energía electrostática

2.3 Fuerzas