Dos placas conductoras y una densidad de carga intermedia

De Laplace

1 Enunciado

Dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección S, se encuentran situadas a una distancia $a$ la una de la otra. La placa inferior se pone a una tensión V₁, mientras que la superior se encuentra a tensión V₂. El espacio entre las placas está ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme ρ₀.

1. Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
2. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
3. Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

2 Solución

2.1 Potencial y campo eléctrico

2.1.1 Potencial

En este problema debemos resolver la ecuación de Poisson \[ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial z} = -\frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \] con condiciones de contorno de Dirichlet \[ \phi = V_0\quad (z=0) \qquad \phi=0\quad(z=a) \] Dado que ni la densidad de carga ni las condiciones de contorno dependen de $x$ ni de $y$, salvo en el hecho de que las placas tienen una extensión $S$, podemos hacer la aproximación de despreciar los efectos de borde y suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada $z$. Esto reduce la ecuación de Poisson a \[ \frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2}=-\frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \] con solución \[ \phi = -\frac{\rho_0 z^2}{2\varepsilon_0}+ A z + B \] Las constantes $A$ y $B$ las obtenemos de las condiciones de contorno \[ V_0 = B\qquad 0 = -\frac{\rho_0 a^2}{2\varepsilon_0}+ Aa + B \] resultando finalmente las constantes y el potencial \[ B = V_0 \qquad A = \frac{\rho a}{2\varepsilon_0}-\frac{V_0}{a} \] \[ \phi = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0} + V_0\left(1-\frac{z}{a}\right) \] Esta solución puede escribirse como la superposición \dibujops{b03-011}\[ \phi = \phi_0 + V_0\phi_1 %\]\[ \qquad \phi_0 = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0}\qquad \phi_1 = 1-\frac{z}{a} \] siendo $\phi_0$ el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. $\phi_1$ representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.

2.1.2 Campo

2.2 Energía electrostática

2.3 Fuerzas