Cálculo de las fuentes de un campo magnético

De Laplace

Revisión a fecha de 19:18 14 may 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Valores de las constantes
3 Fuentes del campo
- 3.1 Densidad volumétrica
- 3.2 Densidad superficial
4 Comportamiento asintótico del campo
5 Momento dipolar magnético

1 Enunciado

En el espacio alrededor de una esfera superconductora existe un campo magnético de la forma

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases} \mathbf{0} & (r < a) \\ & \\ B_0\left(\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{r^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r+ \left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) & (r>a) \end{cases}$

Calcule los valores de las constantes $C 1$ y $C 2$ .
Determine las corrientes que crean este campo.
¿A qué tiende este campo para $r \gg a$ ?
Este campo puede escribirse como el del apartado anterior, más el campo de un dipolo magnético. ¿Cuánto vale su momento dipolar magnético?

2 Valores de las constantes

Los valores de $C 1$ y $C 2$ los calculamos imponiendo que éste sea un campo magnético. Las ecuaciones que debe verificar necesariamente son:

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ $\mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = 0$

La primera debe cumplirse en todo volumen y la segunda en toda superficie de discontinuidad, que en este caso es solamente la superficie esférica $r = a$ .

2.1 Ecuación volumétrica

La ley de Gauss para el campo magnético se cumple idénticamente en la esfera $r < a$ , por ser nulo el campo en ella.

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot\mathbf{0} = 0\qquad (r < a)$

En el exterior de la esfera en cambio, debemos recurrir a la expresión de la divergencia, calculada en coordenadas esféricas

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) + \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right)$

Hallamos cada término por separado. Para el primero

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(B_0\left(r^2+\displaystyle\frac{C_1}{r}\right)\cos(\theta)\right) = B_0\left(\frac{2}{r}-\frac{C_1}{r^4}\right)\cos(\theta)$

y para el segundo

$\frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right) = \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(B_0\left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}^2(\theta)\right) = B_0\left(-\frac{2}{r}+\frac{2C_2}{r^4}\right)\cos(\theta)$

La suma de estos dos términos da

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{B_0(-C_1+2C_2)}{r^4}\cos(\theta)\qquad (r>a)$

Para que esta divergencia se anule, debe ser

$C_1 = 2C_2\,$

2.2 Condición de salto

La otra ecuación la da la condición de que la componente normal del campo sea continua en cualquier superficie. Puesto que el campo en el interior de la esfera es nulo, esto implica que la componente normal justo en el exterior de la superficie esférica también debe anularse, esto es, el campo debe ser puramente tangencial a la superficie.

Imponemos la condición de salto

$0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_r\cdot\left(B_0\left(\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{a^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r + \left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{a^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right)-\mathbf{0}\right)$

Obsérvese que hay que sustituir el valor de la coordenada $r$ por su valor, $a$ , en la superficie esférica. La coordenada $θ$ , en cambio, se deja tal cual, pues en la superficie esférica, la coordenada polar tiene todos los valores posibles, no uno solo. Al hacer el producto escalar, la componente polar del campo no contribuye y queda simplemente la condición

$0 = B_0\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{a^3}\right)\cos(\theta)$

de donde

$C_1 = -a^3\qquad C_2 = -\frac{a^3}{2}$

2.3 Expresión del campo

Sustituyendo los valores de las constantes obtenemos la expresión del campo en todos los puntos del espacio

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases} \mathbf{0} & (r < a) \\ & \\ B_0\left(\left(1-\displaystyle\frac{a^3}{r^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r+ \left(-1-\displaystyle\frac{a^3}{2r^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) & (r>a) \end{cases}$

Justo en la superficie exterior de la esfera este campo se reduce a

$\mathbf{B}(a^+) = -\frac{3B_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta$

3 Fuentes del campo

Una vez que tenemos el campo, podemos calcular las fuentes que lo producen. Estas son necesariamente vectoriales y pueden ser volumétricas o de superficie. Su expresión viene dada por la ley de Ampère

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B}\qquad \qquad\mathbf{K}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{n}\times[\mathbf{K}]$

3.1 Densidad volumétrica

La densidad de corriente de volumen es nula en el interior de la esfera, por ser el campo nulo

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0}\qquad (r<a)$

En el exterior, empleamos la expresión del rotacional en coordenadas esféricas:

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_0r^2\mathrm{sen}(\theta)}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_r & r\mathbf{u}_\theta & r\,\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\varphi \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial \theta} & 0 \\ & & \\ B_r & rB_\theta & 0\end{matrix}\right|=\frac{1}{\mu_0 r}\left(\frac{\partial\ }{\partial r}(rB_\theta)-\frac{\partial B_r}{\partial\theta}\right)\mathbf{u}_\varphi$

El 0 de la segunda fila del determinante expresa el que sabemos que ninguna de las cantidades depende de la coordenada acimutal $\varphi$ y por tanto, todas las derivadas respecto a esta variable van a ser nulas.

Sustituyendo los valores de las componentes queda

$\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_0 r}\left(\frac{\partial\ }{\partial r}\left(-B_0\left(r+\frac{a^3}{2r^2}\right)\mathrm{sen}(\theta)\right)-\frac{\partial \ }{\partial\theta}\left(B_0\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)\cos(\theta)\right)\right)\mathbf{u}_\varphi = \mathbf{0}$

Es decir, no hay densidades de corriente de volumen en ningún punto del espacio.

3.2 Densidad superficial

Para hallar la densidad superficial de corriente en la superficie de la esfera aplicamos la condición de salto

$\mathbf{K} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{n}\times[\mathbf{B}] = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{u}_r\times\left(\mathbf{B}(a^+)-\mathbf{B}(a^-)\right)$

Sustituyendo las expresiones del campo justo fuera de la superficie y justo dentro de ella

$\mathbf{K}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{u}_r\times\left(-\frac{3B_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) = -\frac{3B_0}{2\mu_0}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_{\varphi}$

Tenemos entonces una densidad de corriente en la dirección acimutal, que se anula en los polos de la esfera y es máxima en el ecuador.

4 Comportamiento asintótico del campo

5 Momento dipolar magnético

Cálculo de las fuentes de un campo magnético

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1 Enunciado

2 Valores de las constantes

2.1 Ecuación volumétrica

2.2 Condición de salto

2.3 Expresión del campo

3 Fuentes del campo

3.1 Densidad volumétrica

3.2 Densidad superficial

4 Comportamiento asintótico del campo

5 Momento dipolar magnético

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