Cálculo de las fuentes de un campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Valores de las constantes
3 Fuentes del campo
- 3.1 Densidad volumétrica
- 3.2 Densidad superficial
4 Comportamiento asintótico del campo
5 Momento dipolar magnético
- 5.1 A partir del campo
- 5.2 A partir de las corrientes

1 Enunciado

En el espacio alrededor de una esfera superconductora existe un campo magnético de la forma

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases} \mathbf{0} & (r < a) \\ & \\ B_0\left(\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{r^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r+ \left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) & (r>a) \end{cases}$

Calcule los valores de las constantes $C 1$ y $C 2$ .
Determine las corrientes que crean este campo.
¿A qué tiende este campo para $r \gg a$ ?
Este campo puede escribirse como el del apartado anterior, más el campo de un dipolo magnético. ¿Cuánto vale su momento dipolar magnético?

2 Valores de las constantes

Los valores de $C 1$ y $C 2$ los calculamos imponiendo que éste sea un campo magnético. Las ecuaciones que debe verificar necesariamente son:

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ $\mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = 0$

La primera debe cumplirse en todo volumen y la segunda en toda superficie de discontinuidad, que en este caso es solamente la superficie esférica $r = a$ .

2.1 Ecuación volumétrica

La ley de Gauss para el campo magnético se cumple idénticamente en la esfera $r < a$ , por ser nulo el campo en ella.

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot\mathbf{0} = 0\qquad (r < a)$

En el exterior de la esfera en cambio, debemos recurrir a la expresión de la divergencia, calculada en coordenadas esféricas

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) + \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right)$

Hallamos cada término por separado. Para el primero

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(B_0\left(r^2+\displaystyle\frac{C_1}{r}\right)\cos(\theta)\right) = B_0\left(\frac{2}{r}-\frac{C_1}{r^4}\right)\cos(\theta)$

y para el segundo

$\frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right) = \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(B_0\left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}^2(\theta)\right) = B_0\left(-\frac{2}{r}+\frac{2C_2}{r^4}\right)\cos(\theta)$

La suma de estos dos términos da

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{B_0(-C_1+2C_2)}{r^4}\cos(\theta)\qquad (r>a)$

Para que esta divergencia se anule, debe ser

$C_1 = 2C_2\,$

2.2 Condición de salto

La otra ecuación la da la condición de que la componente normal del campo sea continua en cualquier superficie. Puesto que el campo en el interior de la esfera es nulo, esto implica que la componente normal justo en el exterior de la superficie esférica también debe anularse, esto es, el campo debe ser puramente tangencial a la superficie.

Imponemos la condición de salto

$0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_r\cdot\left(B_0\left(\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{a^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r + \left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{a^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right)-\mathbf{0}\right)$

Obsérvese que hay que sustituir el valor de la coordenada $r$ por su valor, $a$ , en la superficie esférica. La coordenada $θ$ , en cambio, se deja tal cual, pues en la superficie esférica, la coordenada polar tiene todos los valores posibles, no uno solo. Al hacer el producto escalar, la componente polar del campo no contribuye y queda simplemente la condición

$0 = B_0\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{a^3}\right)\cos(\theta)$

de donde

$C_1 = -a^3\qquad C_2 = -\frac{a^3}{2}$

2.3 Expresión del campo

Sustituyendo los valores de las constantes obtenemos la expresión del campo en todos los puntos del espacio

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases} \mathbf{0} & (r < a) \\ & \\ B_0\left(\left(1-\displaystyle\frac{a^3}{r^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r+ \left(-1-\displaystyle\frac{a^3}{2r^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) & (r>a) \end{cases}$

Justo en la superficie exterior de la esfera este campo se reduce a

$\mathbf{B}(a^+) = -\frac{3B_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta$

Vemos que, efectivamente, en la superficie de la esfera el campo es puramente tangencial a ella.

3 Fuentes del campo

Una vez que tenemos el campo, podemos calcular las fuentes que lo producen. Estas son necesariamente vectoriales y pueden ser volumétricas o de superficie. Su expresión viene dada por la ley de Ampère

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B}\qquad \qquad\mathbf{K}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{n}\times[\mathbf{K}]$

3.1 Densidad volumétrica

La densidad de corriente de volumen es nula en el interior de la esfera, por ser el campo nulo

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0}\qquad (r<a)$

En el exterior, empleamos la expresión del rotacional en coordenadas esféricas:

$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_0r^2\mathrm{sen}(\theta)}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_r & r\mathbf{u}_\theta & r\,\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\varphi \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial \theta} & 0 \\ & & \\ B_r & rB_\theta & 0\end{matrix}\right|=\frac{1}{\mu_0 r}\left(\frac{\partial\ }{\partial r}(rB_\theta)-\frac{\partial B_r}{\partial\theta}\right)\mathbf{u}_\varphi$

El 0 de la segunda fila del determinante expresa el que sabemos que ninguna de las cantidades depende de la coordenada acimutal $\varphi$ y por tanto, todas las derivadas respecto a esta variable van a ser nulas.

Sustituyendo los valores de las componentes queda

$\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_0 r}\left(\frac{\partial\ }{\partial r}\left(-B_0\left(r+\frac{a^3}{2r^2}\right)\mathrm{sen}(\theta)\right)-\frac{\partial \ }{\partial\theta}\left(B_0\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)\cos(\theta)\right)\right)\mathbf{u}_\varphi = \mathbf{0}$

Es decir, no hay densidades de corriente de volumen en ningún punto del espacio.

3.2 Densidad superficial

Para hallar la densidad superficial de corriente en la superficie de la esfera aplicamos la condición de salto

$\mathbf{K} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{n}\times[\mathbf{B}] = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{u}_r\times\left(\mathbf{B}(a^+)-\mathbf{B}(a^-)\right)$

Sustituyendo las expresiones del campo justo fuera de la superficie y justo dentro de ella

$\mathbf{K}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{u}_r\times\left(-\frac{3B_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) = -\frac{3B_0}{2\mu_0}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_{\varphi}$

Tenemos entonces una densidad de corriente en la dirección acimutal, que se anula en los polos de la esfera y es máxima en el ecuador.

4 Comportamiento asintótico del campo

En puntos alejados de la esfera, los términos que van como $1 / r 3$ se hacen despreciables, por lo que el campo se reduce a

$\mathbf{B} \simeq B_0\left(\cos(\theta)\mathbf{u}_r-\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) \qquad (r\gg a)$

A partir de las relaciones entre las diferentes bases vectoriales, podemos ver que este campo es simplemente

$\mathbf{B} \simeq B_0\mathbf{u}_z\qquad (r\gg a)$

esto es, en puntos alejados de la esfera es simplemente un campo uniforme en la dirección del eje Z.

5 Momento dipolar magnético

5.1 A partir del campo

El campo exterior completo es igual al que acabamos de hallar más otro término. Podemos escribir la descomposición como

$\mathbf{B}=\mathbf{B}_\infty + \mathbf{B}_m\,$

siendo $\mathbf{B}_\infty$ el asintótico

$\mathbf{B}_\infty= B_0\left(\cos(\theta)\mathbf{u}_r-\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right)$

y $\mathbf{B}_m$ el resto

$\mathbf{B}_m = -\frac{B_0a^3}{2r^3}\left(2\cos(\theta)\mathbf{u}_r + \mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right)$

El que este campo decaiga como el cubo de la distancia ya lo identifica como campo dipolar.

Si consideramos el campo de un dipolo en la dirección del eje Z, $\mathbf{m}=m\mathbf{u}_z$

$\mathbf{B}_m = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

queda

$\mathbf{B}_m = \frac{\mu_0m}{4\pi r^3}\left(3\cos(\theta)\mathbf{u}_r-\mathbf{u}_z\right)=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}\left(2\cos(\theta)\mathbf{u}_r + \mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right)$

Vemos que la expresión es completamente idéntica a la anterior si hacemos

$-\frac{B_0a^3}{2}=\frac{\mu_0m}{4\pi}$

lo que nos da el momento dipolar

$\mathbf{m}=-\frac{2\pi a^3 B_0}{\mu_0}\mathbf{u}_z$

El momento dipolar va en sentido opuesto al campo asintótico, verificando la regla de la mano derecha respecto a las corrientes superficiales.

5.2 A partir de las corrientes

El momento dipolar se puede hallar también a partir de las corrientes que fluyen por la superficie de la esfera, cumpliéndose

$\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S$

Sustituyendo los diferentes términos

$\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (a\mathbf{u}_r)\times\left(-\frac{3B_0}{2\mu_0}\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\varphi\right)a^2\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = -\frac{3B_0a^3}{4\mu_0}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\mathbf{u}_\theta\mathrm{sen}^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

Aquí hay que tener cuidado a la hora de integrar porque los vectores de la base dependen de la posición. Pasando a la base cartesiana

$\mathbf{m}=-\frac{3B_0a^3}{4\mu_0}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\left(\cos(\theta)\mathbf{u}_r-\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_z\right)\mathrm{sen}^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

La integral en $\varphi$ da un factor $2π$ , mientras que las integrales en $θ$ cumplen

$\int_0^\pi \cos(\theta)\mathrm{sen}^2(\theta)\mathrm{d}\theta = 0$ $\int_0^\pi \mathrm{sen}^3(\theta)\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}$

Lo que nos da finalmente

$\mathbf{m}=-\frac{3B_0a^3}{4\mu_0}(2\pi)\frac{4}{3}\mathbf{u}_z=-\frac{2\pi B_0a^3}{\mu_0}\mathbf{u}_z$

coincidente con el valor obtenido anteriormente.

Cálculo de las fuentes de un campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Valores de las constantes

2.1 Ecuación volumétrica

2.2 Condición de salto

2.3 Expresión del campo

3 Fuentes del campo

3.1 Densidad volumétrica

3.2 Densidad superficial

4 Comportamiento asintótico del campo

5 Momento dipolar magnético

5.1 A partir del campo

5.2 A partir de las corrientes

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