Cálculo de las fuentes de un campo magnético

De Laplace

Revisión a fecha de 18:32 14 may 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Valores de las constantes
- 2.1 Ecuación volumétrica
- 2.2 Condición de salto
3 Fuentes del campo
4 Comportamiento asintótico del campo
5 Momento dipolar magnético

1 Enunciado

En el espacio alrededor de una esfera superconductora existe un campo magnético de la forma

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases} \mathbf{0} & (r < a) \\ & \\ B_0\left(\left(1+\displaystyle\frac{C_1}{r^3}\right)\cos(\theta)\mathbf{u}_r+ \left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\theta\right) & (r>a) \end{cases}$

Calcule los valores de las constantes $C 1$ y $C 2$ .
Determine las corrientes que crean este campo.
¿A qué tiende este campo para $r \gg a$ ?
Este campo puede escribirse como el del apartado anterior, más el campo de un dipolo magnético. ¿Cuánto vale su momento dipolar magnético?

2 Valores de las constantes

Los valores de $C 1$ y $C 2$ los calculamos imponiendo que éste sea un campo magnético. Las ecuaciones que debe verificar necesariamente son:

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ $\mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = 0$

La primera debe cumplirse en todo volumen y la segunda en toda superficie de discontinuidad, que en este caso es solamente la superficie esférica $r = a$ .

2.1 Ecuación volumétrica

La ley de Gauss para el campo magnético se cumple idénticamente en la esfera $r < a$ , por ser nulo el campo en ella.

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot\mathbf{0} = 0\qquad (r < a)$

En el exterior de la esfera en cambio, debemos recurrir a la expresión de la divergencia, calculada en coordenadas esféricas

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) + \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right)$

Hallamos cada término por separado. Para el primero

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2B_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(B_0\left(r^2+\displaystyle\frac{C_1}{r}\right)\cos(\theta)\right) = B_0\left(\frac{2}{r}-\frac{C_1}{r^4}\right)\cos(\theta)$

y para el segundo

$\frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)B_\theta\right) = \frac{1}{r\,\mathrm{sen}(\theta)}\frac{\partial }{\partial\theta}\left(B_0\left(-1+\displaystyle\frac{C_2}{r^3}\right)\mathrm{sen}^2(\theta)\right) = B_0\left(-\frac{2}{r}+\frac{2C_2}{r^4}\right)\cos(\theta)$

La suma de estos dos términos da

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{B_0(-C_1+2C_2)}{r^4}\cos(\theta)\qquad (r>a)$

Para que esta divergencia se anule, debe ser

$C_1 = 2C_2\,$

2.2 Condición de salto

La otra ecuación la da la condición de que la componente normal del campo sea continua en cualquier superficie. Puesto que el campo en el interior de la esfera es nulo, esto implica que la componente normal justo en el exterior de la superficie esférica también debe anularse, esto es, el campo debe ser puramente tangencial a la superficie.

Imponemos la condición de salto

0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_r\cdot(

3 Fuentes del campo

4 Comportamiento asintótico del campo

5 Momento dipolar magnético

Cálculo de las fuentes de un campo magnético

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1 Enunciado

2 Valores de las constantes

2.1 Ecuación volumétrica

2.2 Condición de salto

3 Fuentes del campo

4 Comportamiento asintótico del campo

5 Momento dipolar magnético

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