5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

Revisión a fecha de 20:54 8 dic 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}
- 2.1 Movimiento de arrastre {01}
- 2.2 Movimiento relativo {20}
3 Velocidad y aceleración de P
- 3.1 Velocidad absoluta de P
- 3.2 Aceleración absoluta de P
4 Reducción cinemática de {21}
5 Valores numéricos

1 Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ . El módulo de la velocidad angular de este giro es constante y su módulo es $|\vec{\omega}_{01}| = \Omega$ . Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es $R$ , gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante $|\vec{\omega}_{20}| = \omega$ . Se pide

La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
Aplicando la composición de velocidades, la velocidad $\vec{v}^P_{21}$ y aceleración $\vec{a}^P_{21}$ del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
Calcule numéricamente $v^P_{21}$ y $a^P_{21}$ para los valores $R = 1\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ , $\omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $\Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido “0” para resolver el problema.

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente $O Z 0 = O Z 1$ . Si reducimos en un punto de este eje )por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

$\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es el propio eje $O Z 0$ .

2.2 Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

$\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es uno paralelo a $O Y 0$ y que pasa por C.

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

$\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}$

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

$\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0$

3.2 Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de velocidades

$\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}$

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}: Es la de una rotación con velocidad angulkar constante en torno a un eje permanente

$\vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0$

Aceleración relativa {20}: Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.

$\vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0$

Término de Coriolis: Por último tenemos la contribución:

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0$

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

$\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0$

4 Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la de l relativo más el de arrastre

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0$

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

$v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}$

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

$\overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}$

Sustituyendo las diferentes cantidades

$\overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0$

5 Valores numéricos

5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

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1 Enunciado

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

2.2 Movimiento relativo {20}

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

3.2 Aceleración absoluta de P

4 Reducción cinemática de {21}

5 Valores numéricos

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