5.6. Barra deslizante en armazón rotatorio

De Laplace

Revisión a fecha de 12:37 28 nov 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Velocidades de A
3 Velocidades de B
4 Aceleraciones

1 Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $O X 0$ y $O Z 0$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $O Z 1$ , de tal modo que el eje $O X 0$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$ , se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje $O X 0$ , mientras que su extremo $B$ desliza a lo largo del eje $O Z 0$ . Utilizando los ángulos $θ$ y $\varphi$ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

$\vec{v}^{A}_{01}$ , $\vec{v}^{A}_{20}$ y $\vec{v}^{A}_{21}$ .
$\vec{v}^{B}_{01}$ , $\vec{v}^{B}_{20}$ y $\vec{v}^{B}_{21}$ .
$\vec{\alpha}_{21}$ , $\vec{a}^{A}_{21}$ y $\vec{a}^{B}_{21}$ .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

2 Velocidades de A

Movimiento de arrastre {01}: En su movimiento como punto del armazón, el punto A se encuentra rotando alrededor del eje $O Z 0$ . Su velocidad instantánea es

$\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}$

La velocidad angular de este movimiento la da la derivada temporal del ángulo que forman los dos ejes

O X 1

y

O X 0

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0$

mientras que la posición instantánea de A es

$\overrightarrow{OA}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0$

lo que nos da la velocidad de arrastre

$\vec{v}^A_{01}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0) = L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

Movimiento relativo {20}: El punto A de la barra se desliza a lo largo del eje $O X 0$ . Puesto que conocemos su posición en todo momento, podemos hallar su velocidad simplemente derivando

$\vec{r}^A_{20}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0$ $\Rightarrow$ $\vec{v}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^A_{20}\right)\right|_0=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0$

Movimiento absoluto {21}: Una vez que tenemos las velocidades de arrastre y relativa, la velocidad absoluta la calculamos sumando las dos anteriores

$\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

3 Velocidades de B

Las velocidades de B son incluso más fáciles de calcular que las de A.

Velocidad de arrastre {01}: El punto B se encuentra en el propio eje (permanente) de rotación, por lo que

$\vec{v}^B_{01}=\vec{0}$

Velocidad relativa {20}: De nuevo se trata de un deslizamiento, que podemos hallar derivando la posición

$\vec{r}^B_{20}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_0$ $\Rightarrow$ $\vec{v}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^B_{20}\right)\right|_0=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0$

Velocidad absoluta {21}: Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0$

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