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1.5. Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

De Laplace

1 Enunciado

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radiovector \vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI)

2 Solución

La propiedad que caracteriza a cada punto Q del plano es que el vector que va del punto P al Q es ortogonal al vector normal al plano, esto es,

\vec{a}\cdot\overrightarrow{PQ} = 0

Si el vector de posición del punto Q respecto al origen es

\overrightarrow{OQ}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}

el vector de posición relativo al punto P es

\overrightarrow{PQ}=(x-1)\vec{\imath}+(y-5)\vec{\jmath}+(z-3)\vec{k}

La condición de ortogonalidad al vector normal al plano la podemos desarrollar escribiendo el producto escalar como suma de productos de componentes

0 = \vec{a}\cdot\overrightarrow{PQ}=2(x-1) + 3(y-5) + 6(z-3) = 2x + 3y + 6z -35

lo que nos da la ecuación implícita del plano

2x + 3y + 6z = 35\,

Alternativamente, podemos llegar a esta ecuación imponiendo que

\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP} = \vec{a}\cdot\overrightarrow{OP}

que, geométricamente, significa que para cada punto del plano tiene el mismo valor la proyección de su vector de posición sobre el vector \vec{a}.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/1.5._Ejemplo_de_ecuaci%C3%B3n_vectorial_de_un_plano"

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