1.6. Teoremas del seno y del coseno

Revisión a fecha de 19:05 22 sep 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

1 Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ y ángulos opuestos $α$ , $β$ y $γ$ .

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

$\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2$

Desarrollando el producto escalar

$\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2$

El ángulo que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es el suplementario de $γ$ , $π - γ$ , que verifica

$\cos(\pi-\gamma) = -\cos\gamma\,$

por lo que finalmente obtenemos

$a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.