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No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}

siendo \vec{A}\neq \vec{0}, entonces \vec{B} = \vec{C}; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces \vec{B}\neq\vec{C}.

2 Introducción

Existen varias formas de abordar este problema:

  • Empleando las propiedades cancelativas.
  • Mediante argumentos geométricos.
  • Empleando el doble producto vectorial.

Veremos cada uno de estos tres métodos por separado.

3 Propiedades cancelativas

Si en la igualdad de los productos vectoriales pasamos todo al primer miembro nos queda

\vec{A}\times(\vec{B}-\vec{C})=\vec{0}

Esto quiere decir que el vector \vec{B}-\vec{C} es paralelo al vector \vec{A} (pudiendo también ser nula la diferencia). Por ello puede escribirse

(\vec{B}-\vec{C})\parallel\vec{A}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}-\vec{C}=\lambda\vec{A}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\vec{C}+\lambda\vec{A}

Si ahora multiplicamos escalarmente este resultado por \vec{A} nos queda

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot(\vec{C}+\lambda\vec{A}) = \vec{A}\cdot\vec{C}+\lambda \vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\lambda A^2

4 Solución geométrica

5 Doble producto vectorial

Veamos primero una propiedad general. Si multiplicamos un vector \vec{B} po un vector \vec{A} y al resultado lo volvemos a multiplicar por el mismo vector \vec{A}, el resultado es, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B}) = (\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{A} - A^2\vec{B}\qquad\qquad (A = |\vec{A}|)

Del segundo miembro podemos despejar el vector \vec{B}

\vec{B} = \frac{(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{A}}{A^2} - \frac{\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B})}{A^2}

En esta expresión, el primer término del segundo miembro va en la dirección de \vec{A}, mientras que el segundo es ortogonal a este vector. Por ello esta fórmula nos da la descomposición de vector en sus componentes tangencial y normal a otro (como se hace, por ejemplo, al hallar las componentes intrínsecas de la aceleración).

Aplicando esta misma fórmula al vector \vec{C} en lugar de \vec{B} obtenemos

\vec{C} = \frac{(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{A}}{A^2} - \frac{\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{C})}{A^2}

pero, de acuerdo con el enunciado,

\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B}=\vec{A}\times\vec{C}

por lo que, sustituyendo, nos queda

\vec{B} = \frac{(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{A}}{A^2} - \frac{\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B})}{A^2}=\frac{(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{A}}{A^2} - \frac{\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{C})}{A^2}=\vec{C}

Y los dos vectores son iguales. Geométricamente, la identidad conduce a que son iguales las componentes tangenciales y normales a \vec{A} y dos vectores son iguales si y solo si son iguales sus componentes.

Inversamente si alguno de los dos productos son diferentes, los vectores se diferenciarán o bien en su componente tangencial o bien en su componente normal y por tanto no podrán ser iguales.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Sistema_de_ecuaciones_vectoriales"

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