Esfera conductora rellena de dieléctrico con hueco

De Laplace

Revisión a fecha de 18:23 12 sep 2010; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado
2 Sin carga eléctrica en el hueco
- 2.1 Campos eléctrico, de polarización y vector desplazamiento
3 Con carga eléctrica en el hueco

1 Enunciado

Una superficie esférica conductora ideal de pequeño espesor y radio

2 a

está rellena de un medio dieléctrico ideal homogéneo de permitividad $\varepsilon=5\varepsilon_0/2$ , en cuyo centro hay un hueco de radio

a

. Estando la superficie conductora conectada a un potencial

V 0

, el hueco es llenado con una nube de electrones cuya carga total es

- Q 0

. Suponiendo que esta carga se distribuye uniformemente en el hueco y que en el medio dieléctrico no hay carga libre, resuelva las siguientes cuestiones:

Determine los campos $\mathbf{E}$ , $\mathbf{D}$ y $\mathbf{P}$ , tanto en el interior como en el exterior de la esfera, antes y después de introducir la carga eléctrica en el hueco.
Halle la densidad de carga libre y la total en la interfaz $r = a$ y en la cara interior y la exterior de la superficie conductora, antes y después de llenar el hueco.
Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema, antes y después de llenar el hueco.

2 Sin carga eléctrica en el hueco

Analicemos primero el sistema antes de introducir los electrones en el hueco que hay en el centro del dieléctrico. Es decir, el sistema electrostático bajo estudio consiste en un conductor esférico de radio

2 a

y espesor despreciable, relleno de una cáscara esférica de material dieléctrico ideal de permitividad dieléctrica $\varepsilon=5\varepsilon_0/2$ , y radios interior y exterior

a

y

2 a

, respectivamente. El conductor está conectado a una fuente de tensión constante de manera que la superficie conductora

Σ c

va a ser una equipotencial de valor conocido

V 0

.

2.1 Campos eléctrico, de polarización y vector desplazamiento

La fuentes escalares de estos campos son las distribuciones de carga eléctrica. En el interior de la esfera sólo podría haber cargas de polarización, pues está ocupado por un dieléctrico ideal con un hueco vacío. En la superficie conductora a potencial $V 0$ habrá cargas libres, pero también podría haber una densidad superficial de cargas de polarización en su cara interior $\Sigma_c^-\mathrm{,}$ como consecuencia de una discontinuidad del campo de polarización en la interfaz dieléctrico-conductor. Si el valor del potencial es constante, estas distribuciones de carga no van a variar en el tiempo (sistema electrostático), de manera que el campo eléctrico creado por éstas será irrotacional y derivará del potencial electrostático $\phi(\mathbf{r})$ . Tomando el centro geométrico $O$ como origen del sistema de referencia, dicho campo escalar deberá verificar las siguientes condiciones de contorno:

$\phi|_{\Sigma_\mathrm{c}}=\phi (|\mathbf{r}|=2a)=V_0\ \mathrm{;}\qquad\phi|_\infty=\phi (|\mathbf{r}|\rightarrow\infty)=0$

Teniendo en cuenta que las cargas eléctricas se distribuirán siguiendo la simetría esférica del sistema, podemos considerar que el valor del potencial en cualquier punto va a depender exclusivamente de su distancia al centro geométrico $O$ . Como puede comprobarse, esta solución para el potencial es compatible con las condiciones de contorno antes indicadas. En consecuencia, el campo eléctrico será radial. Utilizando coordenadas esféricas, se tendrá,

$\phi(\mathbf{r})=\phi(r)\quad \Longrightarrow\quad \mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\phi(r)=E(r)\ \mathbf{u}_r\mathrm{,}\quad\forall\ P\in \mathrm{I}\!\mathrm{R}^3$

La región exterior al conductor esférico está vacía; es decir, no hay medios materiales ni tampoco carga eléctrica. Por tanto, el potencial electrostático en dicha región debe verificar la ecuación de Laplace, cuya solución en esféricas para un campo radial es bien conocida:

$\nabla^2\phi(r)=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi(r)}{\mathrm{d}r}\right)=0\quad\Longrightarrow\quad\phi(r)=\frac{A}{r}+B\mathrm{,} \quad\mathrm{para}\quad r>2a$

Las constantes $A$ y $B$ se determinan a partir de las condiciones de contorno, obteniéndose así la solución al problema del potencial y el campo eléctrico en los puntos exteriores a la esfera conductora:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\phi(2a)=\frac{A}{2a}+B=V_0\\ \\ \phi(r\rightarrow\infty)=B=V_0\end{array}\right\}\quad\longrightarrow\quad\phi(r)=\frac{2aV_0}{r}\quad \Longrightarrow\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\phi(r)=\frac{2aV_0}{r^2}\ \mathbf{u}_r\mathrm{,} \quad\mathrm{para}\quad r>2a$

El campo de polarización $\mathbf{P}(\mathbf{r})$ en la región exterior va a ser nulo por tratarse de espacio vacío. En consecuencia, el vector desplazamiento va a ser igual al campo eléctrico antes calculado, multiplicado por la permitividad dieléctrica del vacío $\varepsilon_0$ :

$\mathbf{P}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon_0\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{,}\quad \mathrm{en} \quad r>2a$

Como el interior de la esfera conductora está parcialmente relleno de un dieléctrico ideal no podemos plantear una ecuación para el potencial, pues desconocemos si hay cargas eléctricas de polarización y cómo se distribuyen éstas. Lo que sí podemos asegurar es que no puede haber cargas libres. Por tanto, en virtud de la ley de Gauss para el vector desplazamiento, podemos asegurar que el flujo de este campo a través de cualquier superficie cerrada incluida en la región $r < 2 a$ , es nulo.

Haciendo uso de que, tal como se discutió anterioremente, el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debe ser radial, y que el interior de la esfera está ocupado por dieléctricos lineales (medio material y vacío) de simetría esférica, se llega a la conclusión de que el vector desplamiento en $r < 2 a$ también va a ser radial. Por tanto, si tomamos una superficie esférica $\partial\tau$ con centro en $O$ y radio menor que $2 a$ , se obtiene,

$\mathbf{D}(\mathrm{r})=D(r)\ \mathbf{u}_r\quad\Longrightarrow\quad\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2D(r)=0 \mathrm{,}\quad \mathrm{con}\quad r<2a$

Es decir, el vector desplazamiento en cualquier punto interior a la superficie conductora es nulo, Y como dentro de ésta los medios son lineales, el campo eléctrico interior también va a ser nulo. En consecuencia, tampoco va a existir campo de polarización en el interior:

$\mathbf{D}(\mathbf{r})=\mathbf{0}= \begin{cases} \varepsilon_0\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad r<a\\ \\ \varepsilon\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad a<r<2a \end{cases}\qquad\Longrightarrow\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\mathrm{;}\quad\mathbf{P}(\mathbf{r})=\mathbf{D}(\mathbf{r})-\varepsilon_0\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\mathrm{,}\quad \mathrm{en}\quad r<2a$

Resumiendo, el campo eléctrico, vector deplazamiento y polarización en la situación bajo estudio, son:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\mathbf{0}\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad r<2a\\ \\ \displaystyle\frac{2aV_0}{r^3}\ \mathbf{r}\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad r>2a \end{cases}$ &nbsp $\mathbf{D}(\mathbf{r})=\begin{cases}\mathbf{0}\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad r<2a\\ \\ \displaystyle\frac{2aV_0\varepsilon_0}{r^3}\ \mathbf{r}\mathrm{,}&\mathrm{para}\quad r>2a \end{cases}$ $\mathbf{P}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\mathrm{,}\quad \forall\ P\in \mathrm{I}\!\mathrm{R}^3$

3 Con carga eléctrica en el hueco

Esfera conductora rellena de dieléctrico con hueco

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