Ejemplo de diferentes estados de movimiento

De Laplace

Revisión a fecha de 11:18 4 ago 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Los vectores de posición y las velocidades de tres puntos de un sólido son, en el SI,

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+a\vec{\jmath}+b\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & c\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+d\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&e\vec{\imath}+f\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array}$

¿Qué restricciones impone la condición de rigidez a los valores de las incógnitas $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ ?
Halle los valores de estos parámetros si el sólido se encuentra en un estado de traslación instantáneo.
Establezca la condición que deben cumplir las constantes si el estado de movimiento es una rotación pura.

2 Condición de rigidez

La condición cinemática de rigidez implica la equiproyectividad del campo de velocidades:

$\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}$

Aplicando esto a cada uno de los pares de puntos del enunciado tenemos, para los puntos A y B

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-2+a$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-c+2$ $\Rightarrow$ $a+c=4\,$

Repitiendo para A y C

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{k}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-2+b$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-e+2$ $\Rightarrow$ $b+e=4\,$

y para B y C

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{\jmath}+\vec{k}$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=-2+d$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-f$ $\Rightarrow$ $d+f=4\,$

Los parámetros deben cumplir las condiciones