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4.2. Ejemplo de campo de velocidades de un sólido

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un campo de velocidades de un sistema de partículas tiene la expresión, en el SI,

\vec{v}=(2 + 6 y + 3 z)\vec{\imath}+(3 - 6 x - 2 z)\vec{\jmath}+(1 - 3 x + 2 y)\vec{k}
  1. Pruebe que corresponde al movimiento de un sólido rígido.
  2. Determine la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento.
  3. Halle la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.

2 Velocidad de un sólido rígido

Para probar que corresponde a un posible movimiento de un sólido rígido, lo más directo es usar la condición cinemática de rigidez, esto es, probar que el campo de velocidades es equiproyectivo. Esto se puede escribir en la forma

(\vec{v}_2-\vec{v}_1)\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=0

Consideramos dos puntos arbitrarios

\vec{r}_1=x_1\vec{\imath}+y_1\vec{\jmath}+z_1\vec{k}         \vec{r}_2=x_2\vec{\imath}+y_2\vec{\jmath}+z_2\vec{k}

con velocidades

\vec{v}_1=(2 + 6y_1 + 3z_1)\vec{\imath}+(3 - 6x_1 - 2z_1)\vec{\jmath}+(1 - 3x_1 + 2y_1)\vec{k}          \vec{v}_2=(2 + 6y_2 + 3z_2)\vec{\imath}+(3 - 6x_2 - 2z_2)\vec{\jmath}+(1 - 3x_2 + 2y_2)\vec{k}

Hallamos la posición relativa

\vec{r}_2-\vec{r}_1=(x_2-x_1)\vec{\imath}+(y_2-y_1)\vec{\jmath}+(z_2-z_1)\vec{k}= \Delta x\vec{\imath}+\Delta y\vec{\jmath}+\Delta z\vec{k}

y la velocidad relativa

\vec{v}_2-\vec{v}_1=(6\Delta y + 3\Delta z)\vec{\imath}+(-6\Delta x - 2\Delta z)\vec{\jmath} +(-3\Delta x + 2\Delta y)\vec{k}

Calculamos su producto escalar

(\vec{v}_2-\vec{v}_1)\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)= (6\Delta y + 3\Delta z)\Delta x+(-6\Delta x - 2\Delta z)\Delta y+ (-6\Delta x - 2\Delta z)\Delta z=0

Por tanto el campo es equiproyectivo y corresponde al movimiento de un sólido rígido.

3 Velocidad angular y de deslizamiento

3.1 Velocidad angular

Podemos hallar la velocidad angular del movimiento simplemente comparando la expresión del enunciado con la expresión general

\vec{v}(\vec{r}) =\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}

Sustituyendo la expresión en componentes cartesianas

\vec{v}=v_{0x}\vec{\imath}+v_{0y}\vec{\jmath}+v_{0z}\vec{k}+ \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|

Desarrollando e igualando nos queda

\begin{array}{rcl} 2 + 6 y + 3 z & = & v_{x0}+\omega_yz-\omega_zy\\ 3 - 6 x - 2 z & = & v_{y0}+\omega_zx-\omega_xz \\ 1 - 3 x + 2y & = & v_{z0} + \omega_xy-\omega_yx\end{array}

Dado que esto se cumple para todo x, y y z debe ser

\vec{\omega}=2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}         

\vec{v}_0 = 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+\vec{k}

3.2 Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento es la proyección de la velocidad de cualquier punto en la dirección de la velocidad angular. El módulo de esta velocidad lo obtenemos multiplicando por el vector unitario en dicha dirección

\vec{u}=\frac{\vec{\omega}}{\omega}=\frac{2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}= \frac{2}{7}\vec{\imath}+\frac{3}{7}\vec{\jmath}-\frac{6}{7}\vec{k}
v_d = \vec{v}\cdot\vec{u}=1

En forma vectorial, obtenemos la velocidad de deslizamiento multiplicando su módulo por el unitario en la dirección de la velocidad angular

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}_d = v_d\vec{u}}= \frac{2}{7}\vec{\imath}+\frac{3}{7}\vec{\jmath}-\frac{6}{7}\vec{k}

4 EIRMD

Podemos obtener la posición del EIRMD buscando aquellos puntos cuya velocidad sea la de deslizamiento, esto es

\begin{array}{rcl} 2 + 6 y + 3 z & = & \displaystyle\frac{2}{7}\\ 3 - 6 x - 2 z & = & \displaystyle\frac{3}{7} \\ 1 - 3 x + 2y & = & -\displaystyle\frac{6}{7}\end{array}

Operando aquí obtenemos las ecuaciones implícitas

14y + 7z +4 = 0\,         − 42x − 14z + 18 = 0

La tercera ecuación no es necesaria pues es combinación de las dos primeras. Si deseamos las ecuaciones paramétricas, hacemos una variable igual al parámetro y despejamos las otras dos

z = \mu    \Rightarrow    x = \frac{3}{7}-\frac{1}{3}\mu        y = -\frac{2}{7}-\frac{1}{2}\mu

o, en forma vectorial

\vec{r}=\frac{3}{7}\vec{\imath}-\frac{2}{7}\vec{\jmath}+ \mu\left(-\frac{1}{3}\vec{\imath}-\frac{1}{2}\vec{\jmath}+\vec{k}\right)

Alternativamente, podemos emplear la fórmula general

\vec{r}=-\frac{\vec{v}_0\times\vec{\omega}}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}= \frac{3}{7}\vec{\imath}-\frac{2}{7}\vec{\jmath}+ \lambda\left(2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k}\right)

que es equivalente a la anterior sin más que hacer μ = − 6λ

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