Bobina con dos bobinas interiores

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres solenoides formado por una bobina de radio 4a, gran longitud h y N vueltas. En el interior de esta bobina se encuentran, separadas, dos bobinas de radio a, misma longitud y mismo número de vueltas. Las ejes de las dos bobinas interiores se encuentran a una distancia 2a del de la grande. Las tres bobinas están arrolladas en el mismo sentido.

1. Halle la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua en este sistema. Desprecie los efectos de borde.
2. Suponga que se conectan en serie las tres bobinas, de forma que por la bobina exterior circula una corriente + I y por las dos interiores una corriente − I. Exprese el campo magnético en todos los puntos del espacio para esta configuración
3. Para el caso anterior, halle la energía magnética almacenada en el sistema. ¿Cuánto vale la autoinducción equivalente de la asociación?

2 Matriz de inducción

Un elemento de la matriz de coeficientes de autoinducción e inducción mutua, L_ik se calcula como

siendo Φ_i el flujo a través de la espira i cuando por la espira j circula una corriente I_j y por el resto no circula corriente alguna.

En este sistema tenemos tres boninas. Denominaremos “1” a la exterior y “2” y “3” a las interiores. Por la simetría de la matriz tenemos

                

y por la simetría entres la bobinas 2 y 3 tenemos además

                

lo que nos deja con los siguientes elementos diferentes

Cuando se desprecian los efectos de borde y se supone que una bobina es de gran longitud, el campo magnético que produce es, aproximadamente,

3 Campo magnético

4 Energía magnética