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Fusión de hielo en un recipiente

De Laplace

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1 Enunciado

Se tiene un bloque de hielo de masa m_h = 500\,\mathrm{g} de hielo sumergido en un volumen de agua de masa m_a = 500\,\mathrm{g}, ambos a una temperatura T_a = 0.00 ^\circ\mathrm{C} . El conjunto est´a contenido en un recipiente cil´ındrico de vidrio, de di´ametro d = 16.0 cm y espesor e = 1.00 cm, abierto por arriba al aire (que se puede suponer un aislante t´ermico perfecto). El recipiente est´a sumergido en un ba˜no de agua a Tb = 20.0 �C. 1. Calcula la superficie de agua en contacto con el recipiente y la cantidad de calor que entra en ´el en 1.00 s. 2. Halla la cantidad de hielo que se funde en el mismo tiempo. ¿Cu´anto tiempo tardar´a en derretirse por completo? 3. Calcula la variaci´on de entrop´ıa en el sistema, en el ambiente y la variaci´on de entrop´ıa total en la fusi´on completa del hielo. 4. Sup´on que en lugar de permitir que el calor fluya directamente desde el ba˜no al sistema se hace pasar por una m´aquina t´ermica reversible que opera entre las dos temperaturas. ¿Qu´e trabajo puede producirse hasta que el hielo se funde completamente? ¿Cu´anto calor sale del ba˜no en ese caso? Calcula la variaci´on de entrop´ıa del Universo en este proceso. Datos: Densidad de masa del agua l´ıquida � = 1.00 g/cm3; Conductividad t´ermica del vidrio k = 1.1W/m · K; Entalp´ıa espec´ıfica de fusi´on: Lf = �hf = 333.55 kJ/kg P

Se tiene un bloque de hielo de 500 g de hielo sumergido en 500 g de agua, ambos a 0°C. El conjunto está contenido en un recipiente cilíndrico de vidrio, de 16 cm de diámetro y 1 cm de espesor, abierto por arriba al aire (que se puede suponer un aislante térmico perfecto). El recipiente está sumergido en un baño de agua a 20°C.

  1. Calcule la superficie de agua en contacto con el recipiente y la cantidad de calor que entra en él en 1 s.
  2. Halle la cantidad de hielo que se funde en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en derretirse por completo?
  3. Calcule la variación de entropía en el sistema, en el ambiente y la variación de entropía total. ¿Es este proceso posible?

Datos: Conductividad térmica del vidrio k= 1.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}; Entalpía específica de fusión: L_f = \Delta h_f = 333.55\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}

2 Flujo de calor

Podemos obtener la cantidad de calor que entra por segundo a partir de la expresión para la conducción de calor

\dot{Q}=k A\frac{\Delta T}{\Delta x}

En este caso A es el área lateral del recipiente. Este área es la de la base, más la parte de cara lateral hasta la altura a la que llega el agua. hallamos primero esta altura

h = \frac{V}{\pi a^2}=\frac{1000\,\mathrm{cm}^3}{\pi (8\,\mathrm{cm})^2} = 4.97\,\mathrm{cm}

Nótese que no hace falta distinguir entre agua e hielo, ya que por tratarse de la misma sustancia, el principio de Arquímedes nos dice que el volumen desalojado de agua por 0.5 kg de hielo es justamente 0.5 litros.

La superficie de agua en contacto con el vidrio es

A = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r (2+h) = 0.0451\,\mathrm{m}^2

En la expresión del flujo de calor ΔT la diferencia de temperaturas entre las dos caras (20 K) y Δx el espesor del recipiente (0.01 m). Por tanto

\dot{Q}=1.1\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}}\times 0.0451\mathrm{m}^2\times \frac{20\,\mathrm{K}}{0.01\,\mathrm{m}} = 99.2\,\mathrm{W}

3 Hielo fundido por segundo

La cantidad de hielo que se funde por segundo la hallamos dividiendo la cantidad de calor que entra en este tiempo por la cantidad de calor necesaria para fundir un kilogramo de hielo

\dot{m}=\frac{\dot{Q}}{\Delta h_f}=\frac{99.23\,\mathrm{W}}{333.55\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}}=0.298\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}

A este ritmo se necesita un tiempo

T = \frac{M}{\dot{m}}= \frac{500\,\mathrm{g}}{0.298\,\mathrm{g}/\mathrm{s}} = 1680\,\mathrm{s}=28\,\mathrm{min}

4 Variación de entropía

En este problema tenemos una variación de entropía en el agua/hielo y otra en el ambiente. Ambas ocurren a temperatura constante y de forma reversible

4.1 Variación en el agua

La variación de entropía por segundo será

\dot{S}_\mathrm{int}= \frac{\Delta S_\mathrm{int}}{\Delta t} = \frac{\dot{Q}}{T_\mathrm{int}}= \frac{+99.23\,\mathrm{W}}{273\,\mathrm{K}}=+0.363\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{s}}

Esta variación es positiva, como corresponde a que esté aumentando el desorden en el sistema, al pasar de sólido a líquido.

4.2 Variación en el ambiente

En el ambiente tenemos una salida de calor (que va al recipiente). La variación de entropía por segundo será

\dot{S}_\mathrm{ext}= \frac{\dot{Q}}{T_\mathrm{ext}}= \frac{-99.23\,\mathrm{W}}{293\,\mathrm{K}}=-0.339\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{s}}

4.3 Variación neta

Sumando ambas variaciones

\dot{S}_\mathrm{int}+\dot{S}_\mathrm{ext} = +0.025\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{s}}

la variación es positiva, lo que quiere decir que el proceso es posible e irreversible.

El problema puede aparecer a la hora de ubicar esta producción de entropía. Si el combinado agua/hielo recibe de calor de forma reversible (pues lo hace a temperatura constante) y el baño térmico lo cede también de forma isoterma y reversible, ¿dónde está la irreversibilidad que implica este aumento de entropía?

La respuesta es el único sitio que no se ha considerado: el recipiente. Éste no es solo una frontera ideal. Es un sistema en sí mismo, que toma calor a una temperatura (293 K) y lo cede a una inferior (273 K), siendo la producción de entropía correspondiente la que acabamos de calcular.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fusi%C3%B3n_de_hielo_en_un_recipiente"

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