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Espira cuadrada en campo no uniforme

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En una región del espacio existe un campo magnético

\mathbf{B}=2Cxz\mathbf{u}_x + C(x^2-z^2)\mathbf{u}_z

Una espira cuadrada de lado a y resistencia R se encuentra situada en el plano z = 0 con sus lados paralelos a los ejes. La espira se mueve de forma que su extremo trasero se encuentra en la posición x = v0t.

  1. Calcule la corriente que circula por la espira.
  2. Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la espira.
  3. Calcule la potencia disipada en la espira y la energía total disipada durante un tiempo T.

2 Corriente inducida

La corriente que circula por la espira se calcula por aplicación de la ley de Faraday

I=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

Calculamos el flujo magnético a través de un cuadrado apoyado en la espira. Asignamos un sentido de recorrido antihorario para la corriente, de forma que la normal a la superficie sobre la que calculamos el flujo va en la dirección de \mathbf{u}_z.

El campo magnético en todos los puntos de esta superficie vale

\mathbf{B}(z=0) = Cx^2\mathbf{u}_z

En este caso

\Phi_m = \int_{-a/2}^{a/2}\int_{v_0t}^{v_0t+a}(Cx^2\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z)=Ca \int_{v_0t}^{v_0t+a}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{Ca\left((v_0t+a)^3-(v_0t)^3\right)}{3}

Derivando respecto al tiempo

\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=-Cav_0\left((v_0t+a)^2-(v_0t)^2)\right)=-Ca^2v_0(2v_0t+a)

y finalmente la corriente es

I = -\frac{Ca^2v_0(a+2v_0t)}{R}

Esta corriente varía linealmente en el tiempo. Es nula en el instante t0 = − (a / 2) / v0, para el cual la espira está centrada en el campo. Es positiva para t < t0, en que el flujo magnético está disminuyendo y la corriente inducida tiende a aumentarlo. Es positiva para t > t0, en el que el flujo magnético está aumentando y la corriente intenta disminuirlo.

3 Fuerza magnética

La fuerza magnética la obtenemos de la expresión general

\mathbf{F}=I\oint \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}

Aunque la corriente es la misma en toda la espira, esta fuerza no se anula por el ser el campo no uniforme, de forma parecida a lo que ocurre en el problema de la fuerza entre un hilo y una espira.

Dividimos la espira en sus cuatro lados, numerándolos consecutivamente del 1 al 4. la fuerza sobre cada lado es

Fuerza sobre el lado en x = v0t
Para este lado la coordenada x vale lo mismo en todos los puntos (y su valor se puede sustituir en el integrando) mientras que la coordenada y varía desde y = + a / 2 a y = − a / 2
\mathbf{F}_1 = I\int_{a/2}^{-a/2} (\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_y)\times(C(v_0t)^2\mathbf{u}_z)=-ICa(v_0t)^2\mathbf{u}_x
Fuerza sobre el lado en y = − a / 2
Para este lado varía la coordenada x desde x = v0t a x = v0t + a
\mathbf{F}_2 = I\int_{v_0t}^{v_0t+a} (\mathrm{d}x\,\mathbf{u}_x)\times(Cx^2\mathbf{u}_z)
Fuerza sobre el lado en x = v0t + a
Para este lado de nuevo la coordenada x es constante y puede sustituirse mientras que la coordenada y varía ahora desde y = − a / 2 a y = + a / 2
\mathbf{F}_3 = I\int_{-a/2}^{a/2} (\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_y)\times(C(v_0t+a)^2\mathbf{u}_z)=ICa(v_0t+a)^2\mathbf{u}_x
Fuerza sobre el lado en y = + a / 2
Para este lado varía la coordenada x desde x = v0t + a a x = v0t
\mathbf{F}_4 = I\int_{v_0t+a}^{v_0t} (\mathrm{d}x\,\mathbf{u}_x)\times(Cx^2\mathbf{u}_z)

La fuerza sobre el lado inferior se cancela con la del superior, por ser integrales idénticas con los límites invertidos,

con lo que la resultante queda

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_3+\overbrace{\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_4}^{=0}=\frac{ICa((v_0t+a)`2-(v_0t)^2)}{3}\mathbf{u}_x

4 Potencia y energía

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