Pulso en una cuerda

De Laplace

Revisión a fecha de 21:58 26 mar 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

$y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}$

donde $x$ e $y$ se miden en centímetros y $t$ en segundos.

Halle la velocidad de esta onda.
Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en $x$ = 15 cm, en (a) $t$ = 0 s, (b) $t$ = 0.5 s, (c) $t$ = 1 s.

2 Solución

Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a $x$ la segunda derivada respecto a $t$ y obtenemos que ambas son proporcionales

$\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=K\frac{\partial y^2}{\partial t^2}$

entonces podemos afirmar que verifica la ecuación de onda y además que

$K=\frac{1}{v^2}$ $\Rightarrow$ $v = \frac{1}{\sqrt{K}}$

Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si expresamos x en milímetros, lo que equivale a multiplicar el valor de x por 10 y escribir la elongación como

$y = \frac{1}{x^2-6tx+9t^2+1}\qquad (y\ \mbox{en cm},\ x\ \mbox{en mm})$

Derivando una vez respecto a la posición

$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{2x-6t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}$

Derivando una segunda vez

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{2(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{2(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Derivando ahora respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{-6x+18t}{(x^2-6tx+9t^2+1)^2}$

Derivando de nuevo

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{18(x^2-6tx+9t^2+1)-2(2x-6t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{18(3x^2-18xt+27t^2-1)}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{9}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

y por tanto la velocidad de la onda es

$v= \sqrt{9}= 3\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}=0.3\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Las unidades de $v$ salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada $x$ entre las que usamos para el tiempo.

También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma

$y = \frac{1}{(x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm})$

o si no cambiamos las unidades de x y empleamos la expresión original

$y = \frac{1}{(0.1x-3t)^2+1}\qquad (x\ \mbox{en mm})$

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