Pulso en una cuerda

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

$y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}$

donde $x$ e $y$ se miden en centímetros y $t$ en segundos.

Halle la velocidad de esta onda.
Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en $x$ = 15 cm, en (a) $t$ = 0 s, (b) $t$ = 0.5 s, (c) $t$ = 1 s.

2 Solución

Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a $x$ la segunda derivada respecto a $t$ y obtenemos que ambas son proporcionales

$\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=K\frac{\partial y^2}{\partial t^2}$

entonces podemos afirmar que verifica la ecuación de onda y además que

$K=\frac{1}{v^2}$ $\Rightarrow$ $v = \frac{1}{\sqrt{K}}$

Antes de empezar a derivar, podemos obtener una expresión sin decimales si empleamos fracciones y escribimos la elongación como

$y = \frac{1}{x^2/100-6tx/10+9t^2+1}=\frac{100}{x^2-60tx+900t^2+100}$

Derivando una vez respecto a la posición

$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{100(2x-60t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Derivando una segunda vez

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{100(2)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(2x-60t)^2}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Derivando ahora respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Derivando de nuevo

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\frac{100(1800)(x^2-60tx+900t^2+100)-100(2)(-60x+1800t)^2}{(x^2-6tx+9t^2+1)^3}$

Agrupando términos

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{180000(3x^2-180xt+2700t^2-100)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^3}$

Comparando esta expresión con la segunda derivada respecto al tiempo vemos que son efectivamente proporcionales, cumpliéndose que

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{200}{180000}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

y por tanto la velocidad de la onda es

$v= \sqrt{\frac{180000}{200}}=\sqrt{900}= 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Las unidades de $v$ salen de dividir las unidades en las que medimos la coordenada $x$ entre las que usamos para el tiempo.

También podíamos haber llegado a este resultado por inspección, observando que el pulso se puede escribir en la forma

$y = \frac{1}{0.01(x-30t)^2+1}=\frac{100}{(x-30t)^2+100}$

que es un caso particular de la forma general

$y = f(x-vt)\,$

si hacemos

$v = 30\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$ $f(s)=\frac{100}{s^2+1}$

Por tratarse de una función de esta forma, automáticamente satisface la ecuación de onda y su velocidad es la constante $v$ = 30 m/s.

Para hallar la velocidad de un punto de la cuerda en concreto empleamos la derivada respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}$

Sustituyendo $x$ = 15 cm

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15}=-\frac{100(-900+1800t)}{(325-900t+900t^2)^2}$

Para los tres instantes indicados tenemos

t = 0.0 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.0}=-\frac{100(-900)}{(325)^2}=0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

t = 0.5 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.5}=-\frac{100(-900+1800/2)}{(325-900/2+900/4)^2}=0.000\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

En este instante el punto se encuentra en el máximo del pulso y por ello su velocidad es nula.

t = 1.0 s

$\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=1.0}=-\frac{100(-900+1800)}{(325-900+900)^2}=-0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

En este instante, simétrico respecto al primero, la partícula se encuentra descendiendo y volviendo a su posición de equilibrio.

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