Partícula en un tubo con muelle

De Laplace

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Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones de movimiento
- 2.1 En el sistema móvil
- 2.2 En el sistema fijo

1 Enunciado

Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal $O X Y$ pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje $O Z$ ) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula $P$ , de masa $m$ , que es atraída hacia el punto $O$ con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre $P$ y $O$ (con constante de proporcionalidad $k$ ) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares \rho y \theta, así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide:

Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial $O X Y$ y en el sistema no inercial solidario con el tubo.
Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante $ω 0$ . Determina que inecuación debe verificar \omega_0 respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple.

2 Ecuaciones de movimiento

2.1 En el sistema móvil

En un sistema que gira con la barra, la partícula realiza un movimiento unidimensional, sometida a la acción del muelle y a las fuerzas de inercia. En forma vectorial tenemos, si la barra es el sólido “0” y la partícula es el sólido 2

$m\vec{a}^P_{20} = -k\vec{r}-m\vec{a}^O_{01}-m\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}))-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}$

Veamos cada término de esta ecuación, proyectando sobre los ejes $X 0 Y 0 Z 0$