Potencial eléctrico debido a una polarización

De Laplace

Revisión a fecha de 20:46 6 feb 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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El potencial eléctrico debido a una polarización es la suma de los potenciales debidos a cada dipolo.

El potencial de un solo dipolo situado en el origen de coordenadas es

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}$

Si en lugar de encontrarse en el origen se encuentra en un punto $\mathbf{r}_0$ empleamos la posición relativa a este punto

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}$

Si ahora consideramos un conjunto de dipolos situados en posiciones $\mathbf{r}_i$ el potencial eléctrico total será la suma de los potenciales individuales

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}$

Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen $Δτ'$ y queda

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'i}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'$

Esta integral suele ser difícil de calcular por métodos analíticos.

Una descripción alternativa es mediante las densidades de carga de polarización o de carga ligada, definidas como

$\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P}$ $\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]\,$

La última fórmula, con el salto en la polarización, se aplica a una interfaz entre dos dieléctricos. Si uno de ellos es el vacío (en el cual $\mathbf{P}=\mathbf{0}$ ), esta expresión se reduce a $\sigma_p = \mathbf{P}{\cdot}\mathbf{n}$ . En términos de $ρ p$ y $σ p$ el potencial es

$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau\frac{\rho_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'+ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\partial\tau}\frac{\sigma_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}S'$

Empleando las cargas de polarización, las ecuaciones de la electrostática en presencia de dieléctricos se escriben como