Flujo del campo eléctrico de una carga

De Laplace

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Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 En cilíndricas
4 En esféricas

1 Enunciado

Halle el flujo del campo eléctrico debido a una carga puntual $q$ a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio $R$ y la distancia de la carga al plano del disco es $h$ .

Utilizando coordenadas cilíndricas
Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que abarque el mismo ángulo sólido).

2 Introducción

El flujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es

$\Phi_\mathrm{e} = \int_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_S\frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}}{r^3}$

La integral que aparece en el último miembro no es más que el ángulo sólido, $Ω$ , abarcado por la superficie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto

$\Phi_\mathrm{e} = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}$

El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.

3 En cilíndricas

Sitaumos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como

$z=h\,$ $\rho\in[0,R]$ $\varphi\in[0,2\pi)$

El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen

$\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+h\mathbf{u}_z\,$ $r=\sqrt{h^2+\rho^2}$ $\mathrm{d}\mathbf{S}=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z$ { $\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=h\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi$

Sustituimos en la expresión del flujo

$\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^R\!\!\mathrm{d}\rho\frac{h\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}$

La primera integral produce un factor $2π$ , mientras que la segunda es casi inmediata

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \Phi_\mathrm{e} = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+h^2}\right|_0^R = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2}\right) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}

donde

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \cos\theta_0=\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}

siendo $θ 0$ el ángulo con el que se ve el borde del disco desde el origen de coordenadas.

4 En esféricas

Flujo del campo eléctrico de una carga

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