Flujo del campo eléctrico de una carga

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 En cilíndricas
4 En esféricas

1 Enunciado

Halle el flujo del campo eléctrico debido a una carga puntual $q$ a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio $a$ y la distancia de la carga al plano del disco es $h$ .

Utilizando coordenadas cilíndricas
Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que abarque el mismo ángulo sólido).

2 Introducción

El flujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es

$\Phi_\mathrm{e} = \int_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_S\frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}}{r^3}$

La integral que aparece en el último miembro no es más que el ángulo sólido, $Ω$ , abarcado por la superficie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto

$\Phi_\mathrm{e} = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}$

El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.

3 En cilíndricas

Situamos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como

$z=h\,$ $\rho\in[0,a]$ $\varphi\in[0,2\pi)$

El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen

$\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+h\mathbf{u}_z\,$ $r=\sqrt{h^2+\rho^2}$ $\mathrm{d}\mathbf{S}=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z$ $\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=h\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi$

Sustituimos en la expresión del flujo

$\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^a\!\!\mathrm{d}\rho\frac{h\rho}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}$

La primera integral produce un factor $2π$ , mientras que la segunda es casi inmediata

$\Phi_\mathrm{e} = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left.\left(-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+h^2}}\right)\right|_0^a = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}\right) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}$

donde

$\cos\theta_0=\frac{h}{\sqrt{h^2+a^2}}$

siendo $θ 0$ el ángulo con el que se ve el borde del disco desde el origen de coordenadas.

4 En esféricas

El cálculo del flujo a través del disco lo podemos hallar igualmente empleando coordenadas esféricas. Sin embargo, se plantea el problema de cómo se expresa el diferencial de superficie $z = h = cte$ en coordenadas esféricas, pues en este sistema no se trata de una superficie coordenada.

Afortunadamente, no necesitamos resolver esa cuestión. Según indicamos, el flujo del campo eléctrico de una carga puntual a través de una superficie cualquiera es

$\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}$

y el ángulo sólido abarcado por una superficie $S$ sólo depende del borde de dicha superficie. Cualquier otra superficie $S'$ apoyada en la misma curva $Γ$ y orientada en el mismo sentido producirá la misma proyección sobre una esfera de radio $a$ centrada en la carga y por tanto abarcará el mismo ángulo sólido.

Así pues lo que necesitamos es una superficie sencilla en coordenadas esféricas cuyo borde sea un anillo de radio $R$ situado a una altura $h$ . Esta superficie es un casquete esférico apoyado en dicho anillo.

Este casquete se puede parametrizar como

$\mathbf{r}=R\mathbf{u}_r$ $R = \sqrt{a^2+h^2}$ $\theta\in[0,\theta_0]$ $\varphi\in[0,2\pi)$ $\mathrm{d}\mathbf{S}=R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_r$ $\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=R^3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

Obsérvese que los límite de variación de la coordenadas esférica $θ$ son 0 (el cenit de la carga) y $θ 0$ , definido anteriormente como el ángulo con el que se ve el borde.

Sustituyendo en la expresión del flujo del campo eléctrico

$\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^{\theta_0}\!\!\mathrm{d}\theta\frac{R^3\,\mathrm{sen}\,\theta}{R^3}=\frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}$

El resultado, naturalmente, coincide con el anterior. Vemos también que el ángulo sólido abarcado por un casquete esférico es

$\Omega = 2\pi(1-\cos\theta_0)\,$

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