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1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de dos barra articuladas. La longitud de las dos barras es $L = 2 b$ . La masa de la barra "2" es $m$ , mientras que la de la masa "0" es despreciable. Las barras se articulan entre sí en el punto $B$ . El extremo $A$ de la barra "0" se conecta con un pasador, de modo que desliza sobre el eje fijo $O X 1$ . La barra "2" está articulada sobre el eje $O X 1$ en el punto fijo $C$ . Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula conecta los centros de las barras.

Determina gráfica y analíticamente la posición de los CIR de los tres movimientos que se pueden definir en el sistema.
¿Cuántos grados de libertad tiene el problema?. Encuentra reducciones cinemáticas de los movimientos ${21}$ , ${20}$ y ${01}$ . Las reducciones deben expresarse en función de los grados de libertad.
Calcula la energía cinética y potencial del sistema.
Determina la posición de equilibrio.
Se aplica un par $\vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}_1$ sobre la barra "2". Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada barra.
Calcula la cantidad de movimiento de cada barra.
Calcula $\vec{L}^{\,'0'}_{G_0}$ y $\vec{L}^{\,'2'}_C$ .
Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el sistema.
Escribe la función de Lagrange y las ecuaciones de Lagrange del sistema.

2 Solución

2.1 Posiciones de los C.I.R.s

Las barras están articuladas en el punto $B$ . Por tanto

$\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20}\equiv B.$

La barra "2" esta articulada en el punto fijo $C$ . Entonces

$\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C.$

El punto $A$ desliza sobre el eje fijo $O X 1$ . Entonces $\vec{v}^{\,A}_{01}\parallel \vec{\imath}_1$ . El C.I.R. $I 01$ debe estar en la recta perpendicular a esta velocidad trazada en $A$ . Por otro lado, el Teorema de los Tres Centros nos dice que ese C.I.R. también debe encontrarse en la recta que une $I 21$ y $I 20$ . El punto de corte nos da la posición de $I 01$ . Los vectores de posición de estos puntos son

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OI}_{01} = x\,\vec{\imath}_1 + 4b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1,\\ \overrightarrow{OI}_{20} = (x + 2b\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1,\\ \overrightarrow{OI}_{21} = 4b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

2.2 Cinemática

Observando el dibujo tenemos

$\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.$

Para la barra "2" tenemos

$\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0}.$

Ahora aplicamos el vínculo en el punto de articulación de las barras: $\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}$ . Usando las leyes de composición de velocidades

$\begin{array}{ll} \vec{v}^{\,B}_{20} &= \vec{v}^{\,B}_{21} - \vec{v}^{\,B}_{01}= (4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{x})\,\vec{\imath}_1 \\ &\\ & \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,C}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} = (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-2b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) = 2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\ & \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} = (\dot{x} -2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + 2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1. \\ & \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1\\ & \qquad \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}= (\dot{\theta}\,\vec{k})\times(2b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) = -2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1. \end{array}$

Para que esa velocidad se anula debe cumplirse

$\dot{x} = 4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta.$

Otra forma de obtener esta expresión es darse cuenta de que

$\overline{OC} = x + 4b\cos\theta = cte.$

Derivando respecto al tiempo esta expresión se obtiene el resultado anterior.

Así pues, el sistema tiene un grado de libertad. Elegimos la coordenada ${θ}$ para trabajar. Las reducciones cinemáticas quedan

$\begin{array}{ll} \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,A}_{01} = 4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1, \\ &\\ \vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}. \end{array}$