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Dos masas unidas por un péndulo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos masas de valor m1 y m2 se encuentran unidas por una varilla rígida de longitud b y masa despreciable. m1 puede deslizarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal, mientras que m2 cuelga de la varilla pudiendo oscilar y moverse en el plano OXZ. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.

  1. Empleando los procedimientos de la dinámica vectorial (es decir, considerando todas las fuerzas que actúan sobre cada masa), determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas, en función del ángulo con la vertical θ y de la posición x de la masa m1.
  2. Determine dos constantes de movimiento en este problema. ¿Qué representan físicamente?
  3. Suponga que estando el péndulo vertical se aguanta la masa superior y la inferior se separa de la vertical un pequeño ángulo θ0.
    1. ¿A qué se reducen las ecuaciones de movimiento en ese límite θ≪1?
    2. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿A qué tiende en los casos m_1→∞ y m_1→m_2?
  4. Suponga que se sube la masa 2 hasta que el péndulo queda horizontal. Estando las dos masas en reposo, se suelta m2. Para el momento en que el péndulo pasa por la posición vertical
    1. ¿Cuál es la rapidez de m2? ¿Y de m1?
    2. ¿Cuánto vale la tensión de la barra?
    3. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción normal del plano que sostiene a m1?

2 Ecuaciones de movimiento

En lo que sigue, dada la frecuencia con que aparecerán las funciones trigonométricas, emplearemos las abreviaturas

C=\cos(\theta)\qquad\qquad S=\mathrm{sen}(\theta)

Se trata de determinar las ecuaciones de movimiento para las dos partículas.

Este sistema posee dos grados de libertad, ya que está sometido a 4 vínculos:

  • El movimiento es plano y ambas partículas se mueven en el plano OXY
z_1 = 0 \qquad\qquad z_2=0
  • La partícula 1 está obligada a moverse sobre una recta horziontal
y_1=0\,
  • Las partículas están unidas por una barra rígida
(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=b^2\,

En este caso, todos los vínculos son geométricos, lo que nos permite reducir el sistema a solo dos variables. Empleando las indicadas en el enunciado queda, para la partícula 1

x_1 = x\qquad\qquad y_1=0

y para la 2

x_2=x +b\,S\qquad\qquad y_2 = -b\,C

Las componentes de la velocidad y de la aceleración de la primera valen

\dot{x}_1=\dot{x} \qquad \ddot{x}_1=\ddot{x} \qquad\ddot{y}_1=0\qquad\ddot{y}_1=0

y las de la segunda

\dot{x}_2=\dot{x}+b\dot{\theta}C \qquad \ddot{x}_2=\ddot{x}+b\ddot{\theta}C-b\dot{\theta}^2S \qquad\ddot{y}_2=b\dot{\theta}S\qquad\ddot{y}_2=b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C

2.1 Para la partícula 1

La partícula está sometida a

  • Su peso
m_1\vec{g} =-m_1g\vec{\jmath}
  • La reacción normal de la superficie de apoyo, normal a ésta
\vec{F}_n =F_n\vec{\jmath}
  • La tensión de la varilla, que va a lo largo de ella
\vec{F}_{T1} =F_T(S\vec{\imath}-C\vec{\jmath})

Separando por componentes queda

m_1 \ddot{x}_1=F_TS\qquad\qquad 0 = -m_1g+F_n-F_TC

La última ecuación nos permite hallar la reacción normal, que es superior al peso

F_n = m_1g+F_TC\,

No conocemos la tensión. Pare llo, necesitamos la ecuación de movimiento de la segunda partícula

2.2 Para la partícula 2

La partícula 2 está sometida a

  • Su peso
m_2\vec{g} =-m_2g\vec{\jmath}
  • La tensión de la varilla, que va a lo largo de ella y es opuesta a la que actúa sobre la 1
\vec{F}_{T2} =F_T(-S\vec{\imath}+C\vec{\jmath})

Separando por componentes queda

m_2 \ddot{x}_2=-F_TS\qquad\qquad m_2\ddot{y}_2 = -m_2g+F_TC

2.3 Movimiento horizontal del CM

Para la componente horizontal de las dos partículas tenemos que

m_1 \ddot{x}_1=F_TS\qquad\qquad m_2\ddot{x}_2 = - F_T S

de donde

0 = m_1 \ddot{x}_1+ m_2\ddot{x}_2 = \frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}t^2}(m_1x_1+m_2x_2)

Esta ecuación se puede integrar de forma inmediata

m1x1 + m2x2 = A + Bt

En términos de la posición del centro de masas queda

x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{A+Bt}{m_1+m_2}=x_{G0}+v_{xG0}t

que nos dice que el movimiento horizontal del CM es uniforme. En particular si inicialmente las dos partículas están en reposo, la componente x de la posición del CM permanece constante (aunque el CM se moverá verticalmente).

En términos de la coordenada x de la primera partícula y del ángulo con la vertical, la posición horizontal del CM cumple

x_G=x+\frac{m_2}{m_1+m_2}bS\qquad\Rightarrow\qquad x=x_G-\frac{m_2}{m_1+m_2}bS

con lo cual, si determinamos como varía en el tiempo el ángulo θ obtenemos también el valor de x como función del tiempo.

2.4 Ecuación para el ángulo θ

Tenemos las dos ecuaciones

m_2\ddot{x}_2 = - F_T S\qquad\qquad m_2\ddot{y}_2=F_TC-m_2g

Eliminamos la tensión de estas ecuaciones combinándolas y queda

\ddot{x}_2C+\ddot{y}_2S = -gS

Debemos escribir estas dos derivadas en función del ángulo θ y sus derivadas.

Para \ddot{y}_2 ya lo hemos escrito:

\ddot{y}_2=b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C

Para \ddot{x}_2 nos ayudamos del CM

x_2=x+bS=x_G+\frac{m_1}{m_1+m_2}bS

Derivando aquí dos veces

\ddot{x}_2 = \frac{m_1b}{m_1+m_2}(\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S)

y por tanto llegamos a la ecuación

\left(\frac{m_1b}{m_1+m_2}(\ddot{\theta}C-\dot{\theta}^2S)\right)C+\left(b\ddot{\theta}S+b\dot{\theta}^2C\right)S = -gS

Agrupamos términos y queda

\frac{m_1+m_2S^2}{m_1+m_2}\ddot{\theta}+\frac{m_2SC}{m_1+m_2}\dot{\theta}^2 = -\frac{g}{b}S

Esta es la ecuación de movimiento para el péndulo. Como vemos es bastante más compleja que para un péndulo simple.

En el caso particular m_1to\infty la masa superior se queda inmóvil y la ecuación se reduce a

(m_1\to\infty)\qquad\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{b}\mathrm{sen}(\theta)

que sí es la ecuación del péndulo simple.

3 Constantes de movimiento

4 Pequeñas oscilaciones

5 Paso por la vertical

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_masas_unidas_por_un_p%C3%A9ndulo"

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