Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:24 9 nov 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Traslación y rotación en el plano
2 Caso de rotación finita
3 Clasificación de movimientos de un sólido
4 Rodadura y deslizamiento de un disco
5 Diferentes movimientos de una esfera
6 Deslizamiento de una barra

1 Traslación y rotación en el plano

En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación $8\vec{\imath}+6\vec{\jmath}$ seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio? ¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg⁡(θ)=3\/4?

2 Caso de rotación finita

Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como $\begin{array}{rcl} \vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\ \vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\ \vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}$

Compruébese que la base es ortonormal.
Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).

3 Clasificación de movimientos de un sólido

Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, $m=100\,\mathrm{g}$ , situadas en los vértices de un cubo de lado $b=10\,\mathrm{cm}$ . En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en $\vec{r}_1=b\vec{\imath}$ , $\vec{r}_2=b\vec{\jmath}$ y $\vec{r}_3=b\vec{k}$

Caso	$\vec{v}_1$ (cm/s)	$\vec{v}_2$ (cm/s)	$\vec{v}_3$ (cm/s)
I	$\vec{\jmath}-\vec{k}$	$-\vec{\imath}+\vec{k}$	$\vec{\imath}-\vec{\jmath}$
II	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}$	$\vec{k}$	$2\vec{\imath}-\vec{\jmath}$
III	$\vec{\jmath}-\vec{k}$	$-\vec{\imath}+\vec{k}$	$\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}$
IV	$\vec{\imath}-\vec{\jmath}$	$\vec{\imath}-\vec{\jmath}$	$\vec{\imath}-\vec{\jmath}$
V	$\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$	$\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$2\vec{\imath}+\vec{k}$
VI	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$	$\vec{0}$

Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.

4 Rodadura y deslizamiento de un disco

Un disco de radio $R$ y masa $M$ rueda y desliza sobre el plano horizontal $y = 0$ de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

$\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}$

Calcule la velocidad angular del disco.
Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
1. $v A = - v B$
2. $v A = 0$
3. $v A = v B$

5 Diferentes movimientos de una esfera

Considérese una esfera de masa $M$ y radio $R$ que se mueve sobre la superficie horizontal $z = 0$ . Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de dicho punto de contacto con el suelo es nula

$\vec{v}_O = \vec{0}$

Para este mismo instante la velocidad de los puntos $\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}$ y $\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}$ situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

$\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}$

Para los tres casos siguientes:

$v A = + v B$
$v A = 0$
$v A = - v B$

Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
Calcule la velocidad angular del sólido.
Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.

6 Deslizamiento de una barra

Una barra metálica de 1.00 m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60 cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12 cm/s alejándose de la esquina

¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OZ, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
Suponiendo un caso más general en el que la barra forma un ángulo θ con la pared y las derivadas de este ángulo respecto al tiempo valen y , siendo la longitud de la barra. Halle cuánto valen en ese caso
1. Las velocidades y aceleraciones lineales de los puntos A y B de apoyo de la barra en el suelo y la pared, del centro G de la barra y de la esquina O considerada como punto del sólido.
2. La posición del CIR, ¿qué curva describe al ir moviéndose la barra?
  1. En un sistema de referencia fijo unido al suelo y la pared.
  2. En un sistema de referencia móvil ligado a la barra.
Para cada instante, ¿hay algún punto que tenga aceleración nula? ¿Y aceleración normal nula? ¿Y aceleración tangencial nula?