Masa colgando de un hilo (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 09:49 12 oct 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Instante t = π/2Ω

1 Enunciado

Una partícula se halla situada en el extremo de un hilo de longitud $2 b$ , uno de cuyos extremos se encuentra en el punto $A (b,0)$ y que pasa por una pequeña polea situada en el extremo de una barra de longitud $b$ que gira alrededor del origen $O (0,0)$ con velocidad angular constante $2Ω$ . En $t = 0$ la barra está completamente horizontal. La partícula cuelga verticalmente del hilo tras pasar éste por la polea y el movimiento es lo suficientemente lento como para que la partícula no oscile.

Determine la posición, velocidad y aceleración de la partícula como función del tiempo.
Para el instante t = π / (2Ω), halle
1. La posición, velocidad y aceleración de la partícula.
2. El triedro de Frenet referido a la base canónica $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$
3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

La coordenada x de la partícula es inmediata

$x = b\cos(2\Omega t)\,$

Para la coordenada y observamos que se halla a una cierta distancia por debajo de la polea P

$y = b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-(2b-c)$

siendo c la longitud del hilo AP. Obtenemos esta longitud observando que por tratarse de un triángulo isósceles, la altura corta a AP en su punto medio

$\frac{c}{2} = b\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

lo que da

$y = b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-(2b-2b\,\mathrm{sen}(\Omega t))$

y para el vector de posición

$\vec{r}(t)=b\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\left(b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2b\right)\vec{\jmath}$

2.2 Velocidad

Derivamos respecto al tiempo

$\vec{v}(t)=-2b\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2b\Omega\left(\cos(2\Omega t)+\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

2.3 Aceleración

Volvemos a derivar respecto al tiempo

$\vec{a}(t)=-4b\Omega^2\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-2b\Omega^2\left(2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

3 Instante t = π/2Ω

3.1 Posición, velocidad y aceleración

Sustituimos el valor de t, observando que

$\mathrm{sen}(\Omega t)=\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad \cos(\Omega t)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
$\mathrm{sen}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=0\qquad \cos(2\Omega t)=\cos(\pi)=-1$

y queda