Masa colgando de un hilo (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Instante t = π/2Ω

1 Enunciado

Una partícula se halla situada en el extremo de un hilo de longitud $2 b$ , uno de cuyos extremos se encuentra en el punto $A (b,0)$ y que pasa por una pequeña polea situada en el extremo de una barra de longitud $b$ que gira alrededor del origen $O (0,0)$ con velocidad angular constante $2Ω$ . En $t = 0$ la barra está completamente horizontal. La partícula cuelga verticalmente del hilo tras pasar éste por la polea y el movimiento es lo suficientemente lento como para que la partícula no oscile.

Determine la posición, velocidad y aceleración de la partícula como función del tiempo.
Para el instante t = π / (2Ω), halle
1. La posición, velocidad y aceleración de la partícula.
2. El triedro de Frenet referido a la base canónica $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$
3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

Tenemos que determinar la posición de la masa, que denotamos como P, de manera que

$\vec{r}=\overrightarrow{OP}$

Para determinar la posición de P lo escribimos como la suma vectorial

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$

siendo B el extremo de la barra en el cual se encuentra la polea por la que pasa el hilo. La posición de este punto B es, en el sistema de ejes indicado

$\overrightarrow{OB}=b\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

Respecto a B el punto P se encuentra en la vertical por debajo

$\overrightarrow{BP}=-d\vec{\jmath}$

siendo d la longitud de hilo que cuelga. A su vez, esta longitud es igual a la total del hilo menos que la que va del extremo A a la polea de B

$d = 2b-c\qquad\qquad c = |\overrightarrow{AB}|$

Podemos obtener esta distancia c de diferentes maneras:

A partir del teorema del coseno, puesto que conocemos los otros dos lados y el ángulo que abarcan.
Escribiendo los vectores $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OA}$ en sus componentes cartesianas y aplicando que

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\qquad \qquad c = |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}$

Observando que por tratarse de un triángulo isósceles, la altura corta a AB en su punto medio

$\frac{c}{2} = b\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

lo que da

$d = 2b-2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

y para el vector de posición

$\vec{r}(t)=b\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\left(b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2b\right)\vec{\jmath}$

2.2 Velocidad

Derivamos respecto al tiempo

$\vec{v}(t)=-2b\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2b\Omega\left(\cos(2\Omega t)+\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

2.3 Aceleración

Volvemos a derivar respecto al tiempo

$\vec{a}(t)=-4b\Omega^2\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-2b\Omega^2\left(2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

3 Instante t = π/2Ω

3.1 Posición, velocidad y aceleración

Sustituimos el valor de t, observando que

$\mathrm{sen}(\Omega t)=\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad \cos(\Omega t)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
$\mathrm{sen}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=0\qquad \cos(2\Omega t)=\cos(\pi)=-1$

y queda