Movimiento expresado en polares

Revisión a fecha de 18:47 10 oct 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en el SI sus coordenadas polares valen, en todo instante $t > 0$ ,

$\rho=\frac{4}{t}\qquad\qquad\theta=\frac{3}{4}\ln(t)$

Para el instante $t=1\,\mathrm{s}$ halle…

La velocidad de una partícula, expresada en coordenadas polares, viene dada por

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta$

donde, en este caso,

$\dot{\rho}=-\frac{4}{t^2}\qquad\qquad\dot{\theta}=\frac{3}{4t}\qquad\qquad \rho\dot{\theta}=\frac{3}{t^2}$

lo que nos da la velocidad

$\vec{v}=\frac{-4\vec{u}_\rho+3\vec{u}_{\theta}}{t^2}$

y la rapidez

$|\vec{v}|=\frac{5}{t^2}$

Expresada en polares, la aceleración es

$\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho + (2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta$

con

$\ddot{\rho}=\frac{8}{t^3}\qquad\qquad\ddot{\theta}=-\frac{3}{4t^2}$

Nos queda la aceleración radial

$a_\rho=\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2=\frac{8}{t^3}-\left(\frac{4}{t}\right)\left(\frac{3}{4t}\right)^2=\frac{23}{4t^3}$

y la acimutal o lateral

$a_\theta=2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}=-\frac{6}{t^3}-\frac{3}{t^3}=-\frac{9}{t^3}$

El vector aceleración es entonces

$\vec{a}=\frac{23\vec{u}_\rho-36\vec{u}_\theta}{4t^3}$