Movimiento expresado en polares

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad y rapidez
3 Aceleración
4 Triedro de Frenet
5 Radio y centro de curvatura

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en el SI sus coordenadas polares valen, en todo instante $t > 0$ ,

$\rho=\frac{4}{t}\qquad\qquad\theta=\frac{3}{4}\ln(t)$

Para el instante $t=1\,\mathrm{s}$ halle…

Velocidad y rapidez
Vector aceleración y componentes intrínsecas de la aceleración.
Triedro de Frenet.
Radio de curvatura y centro de curvatura.

2 Velocidad y rapidez

La velocidad de una partícula, expresada en coordenadas polares, viene dada por

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta$

donde, en este caso,

$\dot{\rho}=-\frac{4}{t^2}\qquad\qquad\dot{\theta}=\frac{3}{4t}\qquad\qquad \rho\dot{\theta}=\frac{3}{t^2}$

lo que nos da la velocidad

$\vec{v}=\frac{-4\vec{u}_\rho+3\vec{u}_{\theta}}{t^2}$

y la rapidez

$|\vec{v}|=\frac{5}{t^2}$

3 Aceleración

3.1 Vector aceleración

Expresada en polares, la aceleración es

$\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho + (2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta$

con

$\ddot{\rho}=\frac{8}{t^3}\qquad\qquad\ddot{\theta}=-\frac{3}{4t^2}$

Nos queda la aceleración radial

$a_\rho=\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2=\frac{8}{t^3}-\left(\frac{4}{t}\right)\left(\frac{3}{4t}\right)^2=\frac{23}{4t^3}$

y la acimutal o lateral

$a_\theta=2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}=-\frac{6}{t^3}-\frac{3}{t^3}=-\frac{9}{t^3}$

El vector aceleración es entonces

$\vec{a}=\frac{23\vec{u}_\rho-36\vec{u}_\theta}{4t^3}$

3.2 Aceleración tangencial

En su forma escalar, la componente tangencial la da la derivada de la rapidez respecto al tiempo

$a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=-\frac{10}{t^3}$

En su forma vectorial, multiplicamos esta cantidad por el vector tangente, unitario paralelo a la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta$

y queda

$\vec{a}_t=\left(-\frac{10}{t^3}\right)\left(-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta\right)=\frac{8}{t^3}\vec{u}_\rho-\frac{6}{t^3}\vec{u}_\theta$

3.3 Aceleración normal

El vector aceleración normal lo obtenemos mediante la substracción vectorial

$\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=-\frac{9}{4t^3}\vec{u}_\rho-\frac{3}{t^3}\vec{u}_\theta$

y su forma escalar hallando el módulo de este vector

$a_n=|\vec{a}_n|=\frac{15}{4t^3}$

También puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras

$a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-|\vec{a}_t|^2}$

4 Triedro de Frenet

4.1 Vector tangente

Ya lo hemos obtenido como el unitario paralelo a la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta$

4.2 Vector binormal

Es el perpendicular al plano definido por la velocidad de la aceleración, es decir, en la dirección de $\vec{k}$ , con el sentido dado por el producto vectorial.

$\vec{v}\times\vec{a}=\frac{1}{4t^5}\left|\begin{matrix}\vec{u}_\rho &\vec{u}_\theta & \vec{k}\\ -4&3& 0 \\ 23 & -36 & 0\end{matrix}\right| = \frac{75}{4t^5}\vec{k}$

Normalizando este vector queda