Partícula girando suspendida de un hilo

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m gira horizontalmente con rapidez v₀, atada a un hilo inextensible y sin masa de longitud b. El hilo forma un ángulo constante θ con la vertical. En t = 0 la partícula se encuentra en el plano OXZ, según los ejes indicados en la figura.

1. Exprese las ecuaciones horarias del movimiento: x(t), y(t) y z(t).
2. Calcule el valor de v₀ así como la tensión del hilo, en función del ángulo θ (y m, g y b). Si el hilo soporta una tensión máxima F_max = 3mg, que si se supera se rompe, ¿cuál es la rapidez máxima que le podemos comunicar a la masa sin que se rompa el hilo?
3. Calcule la energía mecánica de la partícula como función de θ (y m, g y b, pero no v₀). Tómese como origen de energía potencial el punto O de anclaje del hilo
4. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al punto O como función de θ y del tiempo (y m, g y b, pero no v₀). ¿Es constante alguna de sus componentes?

2 Ecuaciones horarias

La partícula tiene una altura constante, ya que gira horizontalmente

Su movimiento es circular, siendo el radio de la circunferencia . La partícula se mueve con rapidez constante v₀ por lo que su periodo de revolución sale de

y por tanto la velocidad angular vale

lo que nos da las ecuaciones horarias restantes

3 Velocidad y tensión

4 Energía mecánica

5 Momento cinético