Partícula girando suspendida de un hilo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones horarias
3 Velocidad y tensión
4 Energía mecánica
5 Momento cinético

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ gira horizontalmente con rapidez $v 0$ , atada a un hilo inextensible y sin masa de longitud $b$ . El hilo forma un ángulo constante $θ$ con la vertical. En $t = 0$ la partícula se encuentra en el plano OXZ, según los ejes indicados en la figura.

Exprese las ecuaciones horarias del movimiento: $x (t)$ , $y (t)$ y $z (t)$ .
Calcule el valor de $v 0$ así como la tensión del hilo, en función del ángulo $θ$ (y $m$ , $g$ y $b$ ). Si el hilo soporta una tensión máxima $F m a x = 3 m g$ , que si se supera se rompe, ¿cuál es la rapidez máxima que le podemos comunicar a la masa sin que se rompa el hilo?
Calcule la energía mecánica de la partícula como función de $θ$ (y $m$ , $g$ y $b$ , pero no $v 0$ ). Tómese como origen de energía potencial el punto O de anclaje del hilo
Calcule el momento cinético de la partícula respecto al punto O como función de $θ$ y del tiempo (y $m$ , $g$ y $b$ , pero no $v 0$ ). ¿Es constante alguna de sus componentes?

2 Ecuaciones horarias

La partícula tiene una altura constante, ya que gira horizontalmente

$z=-b\,\cos(\theta)$

Su movimiento es circular, siendo el radio de la circunferencia

$R=b\,\mathrm{sen}(\theta)$

La partícula se mueve con rapidez constante $v 0$ por lo que su periodo de revolución sale de

$v_0=\frac{2\pi R}{T}\qquad\Rightarrow\qquad T = \frac{2\pi b\,\mathrm{sen}(\theta)}{v_0}$

y por tanto la velocidad angular vale

$\omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v_0}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}$

lo que nos da las ecuaciones horarias restantes

$x = R\cos(\omega t)=b\,\mathrm{sen}(\theta)\cos\left(\frac{v_0 t}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}\right)\qquad\qquad y = R\,\mathrm{sen}(\omega t)=b\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{sen}\left(\frac{v_0 t}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}\right)$

3 Velocidad y tensión

Esta parte es casi idéntica a otro problema ya resuelto.

La partícula descrive un movimiento circular uniforme, por lo que su aceleración será puramente normal y hacia adentro de la circunferencia. Empleando coordenadas cilíndricas

$\vec{a}=-\frac{v_0^2}{R}\vec{u}_\rho$

Esta aceleración es causada por la superposición de dos fuerzas:

El peso

$m\vec{g}=-mg \vec{k}$

La tensión del hilo, dirigida a lo largo de éste

$\vec{F}_T=F_T\left(-\mathrm{sen}(\theta) \vec{u}_\rho+\mathrm{cos}(\theta)\vec{k}\right)$

Llevando esto a la segunda ley de Newton

$m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T$

queda, por componentes

$m\frac{v_0^2}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}=F_T\,\mathrm{sen}(\theta)$

y

$0 = -mg + F_T\cos(\theta)\,$

De aquí obtenemos la tensión

$F_T = \frac{mg}{\cos(\theta)}$

y la rapidez de la partícula

$v_0=\sqrt{\frac{F_Tb}{m}}\,\mathrm{sen}(\theta)=\sqrt{gb}\frac{\mathrm{sen}(\theta)}{\sqrt{\mathrm{cos}(\theta)}}$

Siu la tensión máxima vale 3mg, entonces el coseno del ángulo debe cumplir

$3mg \geq \frac{mg}{\mathrm{cos}(\theta)}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{cos}(\theta)\geq \frac{1}{3}$

siendo el valor máximo de la rapidez el correspondiente a que el coseno valga 1/3, es decir

$v_{0\mathrm{max}} = \sqrt{gb}\frac{\sqrt{8/9}}{\sqrt{1/3}}=\sqrt{\frac{8gb}{3}}$

4 Energía mecánica

La energía mecánica de la partícula es la suma de la cinética más la potencial

$E=\frac{1}{2}mv_0^2+mgh$

Sustituimos aquí el valor de la rapidez

$E=\frac{1}{2}m gb\frac{\mathrm{sen}^2(\theta)}{\mathrm{cos}(\theta)}-mgb\,\mathrm{cos}(\theta)$

Agrupamos términos

$E= \frac{mgb}{2}\left(\frac{1-\mathrm{cos}^2(\theta)}{\mathrm{cos}(\theta)}-2\,\mathrm{cos}(\theta)\right)=\frac{mgb(1-3\,\mathrm{cos}^2(\theta))}{2\,\mathrm{cos}(\theta)}$

El valor máximo de esta energía sin que se rompa el hilo será

$E_\mathrm{max}= \frac{mgb (1-1/3)}{2(1/3)}=mgb$

5 Momento cinético

El momento cinético respecto al punto O se calcula como

$\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}$

Si escribimos la posición como

$\vec{r}=R\cos(\omega t)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-b\,\cos(\theta)\vec{k}$

donde

$R=b\,\mathrm{sen}(\theta)\qquad\qquad \omega = \frac{v_0}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}=\sqrt{\frac{g}{b\cos(\theta)}}$

nos queda la velocidad

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=-R\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+R\omega\,\mathrm{cos}(\omega t)\vec{\jmath}$

y el momento cinético

$\vec{L}_O=m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ R\cos(\omega t) & R\,\mathrm{sen}(\omega t) &-b\,\cos(\theta)\\ -R\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)& R\omega\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{matrix}\right|$

con el resultado, por componentes,

$\begin{array}{rcl} L_x & = & mRb\omega\cos(\omega t) \\ L_y & = & mRb\omega\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ L_z & = & mR^2\omega\end{array}$

Vemos que la componente $L z$ es constante e igual a

$L_z = mR^2\omega = mb\,\mathrm{sen}(\theta)v_0=mb\sqrt{gb}\frac{\mathrm{sen}^2(\theta)}{\sqrt{\mathrm{cos}(\theta)}}$

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3 Velocidad y tensión

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