Fundamentos matemáticos

De Laplace

Revisión a fecha de 12:30 27 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
3 Campos escalares y vectoriales
4 Gradiente
5 Flujo y divergencia
6 Circulación y rotacional
7 Otros operadores y teoremas de primer orden
- 7.1 Operadores de segundo orden
8 Ángulo sólido
9 Teoremas integrales
10 Teoremas de unicidad
11 Problemas

1 Introducción

2 Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Artículo completo: Sistemas de coordenadas

3 Campos escalares y vectoriales

4 Gradiente

Artículo completo: Gradiente

Dado un campo escalar $\phi\,$ , su gradiente, $\nabla\phi\,$ , es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos $\mathbf{r}$ y $\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}$ , permite hallar el diferencial de $φ$ como

$\mathrm{d}\phi = \phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\phi(\mathbf{r}) = (\nabla\phi){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

A partir de esta definición se obtiene que la expresión de $\nabla\phi$ en un sistema coordenado ortogonal es

$\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\mathbf{u}_{1}+ \frac{1}{h_2}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\mathbf{u}_{2} +\frac{1}{h_3}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\mathbf{u}_{3}$

con aplicación inmediata a los tres sistemas más comunes.

Este vector puede leerse como la aplicación de un operador vectorial $\nabla$ (llamado operador nabla) al campo escalar, siendo

$\nabla = \frac{\mathbf{u}_{1}}{h_1}\,\frac{\partial\ }{\partial q_1}+ \frac{\mathbf{u}_{2}}{h_2}\,\frac{\partial\ }{\partial q_2} +\frac{\mathbf{u}_{3}}{h_3}\,\frac{\partial\ }{\partial q_3}$

Entre las propiedades del gradiente destaca la de ser normal a las superficies equipotenciales.

Del campo $\mathbf{F} = -\nabla\phi$ se dice que deriva del potencial escalar $\phi\,$ .

5 Flujo y divergencia

5.1 Flujo de un campo vectorial

Artículo completo: Flujo de un campo vectorial

El flujo de un campo vectorial $\mathbf{A}$ a través de una superficie abierta $S$ se define como

$\Phi = \int_S \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

y puede entenderse como una medida de la cantidad de campo que atraviesa dicha superficie (gráficamente, como el número de líneas de campo que atraviesas $S$ ).

De manera análoga se define el flujo a través de una superficie cerrada $\partial\tau$ , que encierra un volumen $τ$

$\Phi = \oint_{\partial\tau} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde en este caso $\mathrm{d}\mathbf{S}$ apunta siempre hacia el exterior de la superficie, midiendo el flujo la cantidad de campo que escapa hacia el exterior.

5.2 Divergencia

Artículo completo: Divergencia

La divergencia, $\nabla{\cdot}\mathbf{A}$ , de un campo vectorial $\mathbf{A}$ se define como el límite, cuando un volumen $Δτ$ se reduce a un punto, del flujo del campo a través de la frontera de $Δτ$ , dividido por el volumen del elemento

$\nabla{\cdot}\mathbf{A}=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{1}{\Delta\tau}\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

A partir de esta definición puede demostrarse que la divergencia de un campo puede calcularse como la aplicación del operador $\nabla$ escalarmente sobre $\mathbf{A}$ . Su expresión en distintos sistemas y en general se indica en la tabla correspondiente.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar $ρ$ , denominado las fuentes escalares de $\mathbf{A}$

$\rho(\mathbf{r})=\nabla{\cdot}\mathbf{A}$

Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina campo solenoidal.

5.3 Teorema de Gauss

Artículo completo: Teorema de Gauss

El flujo de un campo a través de una superficie cerrada y la divergencia están estrechamente relacionados a través del Teorema de Gauss

$\oint_{\partial\tau} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_\tau \nabla\cdot\mathbf{A}\,\mathrm{d}\tau$

que nos dice que la cantidad de campo que escapa hacia el exterior de una superficie cerrada $\partial\tau$ es igual a la suma neta de las fuentes escalares contenidas en el interior de dicha superficie.

6 Circulación y rotacional

6.1 Circulación de un campo vectorial

Artículo completo: Circulación de un campo vectorial

6.2 Rotacional

Artículo completo: Rotacional

El rotacional, $\nabla\times\mathbf{F}$ , de un campo vectorial $\mathbf{F}$ es un vector, cuya componente en un punto $\mathbf{r}$ , según la dirección dada por un vector unitario $\mathbf{u}_{}$ es

$(\nabla\times\mathbf{F}){\cdot}\mathbf{u}_{} =\lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_\Gamma \mathbf{F}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

siendo $Γ$ una curva que se reduce a un punto, y $Δ S$ el área delimitada por la curva. La dirección normal al plano de la curva es la dada por $\mathbf{u}_{}$ y la orientación la que establece la regla de la mano derecha.

A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial sobre $\mathbf{F}$ .

El campo vectorial que se obtiene a partir de $\mathbf{F}$ hallando su rotacional en cada punto se denomina como fuentes vectoriales de $\mathbf{F}$ . Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como irrotacional o potencial.

6.3 Teorema de Stokes

Artículo completo: Teorema de Stokes

7 Otros operadores y teoremas de primer orden

7.1 Operadores de segundo orden

8 Ángulo sólido

9 Teoremas integrales

10 Teoremas de unicidad

11 Problemas

Artículo completo: Problemas de fundamentos matemáticos