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Dos ventiladores (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:27 17 dic 2010; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a ω, con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo OXYZ (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:

  1. Los vectores \vec{\omega}_{20} y \vec{\alpha}_{20}. Los vectores \vec{v}_{20}^O y \vec{a}_{20}^O.
  2. El eje instantáneo de rotación.

"'Nota:"' Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.

2 Solución

2.1 Vectores \vec{\omega}_{20} y \vec{\alpha}_{20}

En este problema se usa el sólido "1", en reposo absoluto, como sólido intermedio. Es decir, usaremos la composición

{20} = {21} + {10}

Los datos cinemáticos proporcionados por el enunciado son, expresados en la base del sólido "1",

\vec{\omega}_{01}=-\omega\,\vec{\jmath}_1\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_1

Podemos calcular las aceleraciones angulares derivando en el tiempo, pues los ejes de giro de cada ventilador son permanentes

\vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\qquad \vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}

La velocidad y aceleración angulares pedidas son

\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\\ \\ \vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}= \vec{\alpha}_{21}-\vec{\alpha}_{01}-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}=-\omega^2\,\vec{k}_1 \end{array}


2.2 Vectores \vec{v}_{20}^O y \vec{a}_{20}^O

Vamos a determinar la velocidad y aceleración en cada uno de los movimientos de la composición.

2.2.1 Movimiento {01}

El punto A es un punto fijo de la rotación {01}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

\vec{v}_{01}^A=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^A=\vec{0}

A partir de aquí podemos calcular \vec{v}_{01}^O y \vec{a}_{01}^O

\begin{array}{l} \overrightarrow{AO}=-L\,\vec{\imath}_1 \\ \\ \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^A+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\ \vec{a}_{01}^O=\vec{a}_{01}^A+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO})=L\omega^2\,\vec{\imath}_1 \end{array}

2.2.2 Movimiento {21}

El punto B es un punto fijo de la rotación {21}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

\vec{v}_{21}^B=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^B=\vec{0}

A partir de aquí podemos calcular \vec{v}_{21}^O y \vec{a}_{21}^O

\begin{array}{l} \overrightarrow{BO}=-L\,\vec{\jmath}_1 \\ \\ \vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{21}^B+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\ \vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{21}^B+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})=L\omega^2\,\vec{\jmath}_1 \end{array}


Ahora podemos calcular los vectores pedidos. Veamos \vec{v}_{20}^O en primer lugar

\vec{v}_{20}^O=\vec{v}_{21}^O+\vec{v}_{10}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{01}^O=\vec{0}

Para la aceleración tenemos

\vec{a}_{20}^O=\vec{a}_{21}^O+\vec{a}_{10}^O+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}_{21}^O

Aquí hay que tener cuidado, pues en general \vec{a}_{ij}\neq\vec{a}_{ji}, como hemos usado en los casos anteriores. Por ello, vamos a usar la descomposición {21}={20}+{01}

\begin{array}{c} \vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{20}^O+\vec{a}_{01}^O+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O\Rightarrow\\ \\ \vec{a}_{20}^O = \vec{a}_{21}^O-\vec{a}_{01}^O-2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O=L\omega^2(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1) \end{array}

2.3 Eje instantáneo de rotación

Como \vec{v}_{20}^O=\vec{0}, el punto O esta en el eje. Entonces su ecuación paramétrica es

\Delta_{\mathrm{EIR}}^{20}\quad\equiv\quad \overrightarrow{OI}\,=\lambda\,\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_ventiladores_(G.I.A.)"

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