Péndulos e hilos (GIE)

De Laplace

1 Tensión de un hilo

Uno de los elementos más comunes en problemas de dinámica es la presencia de hilos flexibles conectados a diferentes cuerpos, anclajes fijos o pasando por poleas. Estos hilos, en primera aproximaciones se consideran como ideales:

• No tienen masa
• Son inextensibles

Al ser inextensibles, garantizan que la distancia entre sus extremos permanece constante.

La propiedad de no tener masa implica que no tienen inercia y que no es necesario aplicarles una fuerza neta para moverlo, sino que simplemente se mueven arrastrados por las masas situadas en sus extremos.

Cuando tiramos de un extremo de un hilo (ideal o real), este experimenta una tensión. Esta es una fuerza debida a la minúscula separación en los átomos del extremo de la cuerda, que a su vez atraen a los átomos situados un poco más allá, y estos tiran de los siguientes, etc. El resultado es que todos los átomos quedan ligeramente separados de sus posiciones de equilibrio y toda el hilo se encuentra en tensión.

En principio, la tensión de un hilo puede ir variando a lo largo de éste. Por ejemplo, imaginemos una cuerda pesada que pende del techo. Los puntos superiores deben soportar una mayor fuerza que los inferiores, y por tanto la tensión será más elevada en los puntos más altos.

Si la cuerda es ideal,sin embargo, la tensión tiene el mismo valor en todos los puntos del hilo. Consideremos un elemento del hilo, de masa dm y longitud dx. De acuerdo con la segunda ley de Newton,

ya que el elemento se encuentra sometido a dos tensiones, una por cada extremo, que tiran en sentidos opuestos. Si el hilo es completamente ideal, la masa de elemento es completamente nula y

Si el hilo se dobla en su camino (por ejemplo, al pasar por una polea también ideal sin masa), la tensión sigue teniendo el mismo módulo en todos los puntos del hilo, aunque su dirección y sentido cambien, por ser siempre tangente al hilo.

1.1 Máquina de Atwood

Una de las aplicaciones de las tensiones de hilos es el de la máquina de Atwood, formada por dos masas m₁ y m₂ unidas por un hilo ideal que pasa por una polea también ideal. Cuando se liberan estas masas, la más pesada tira de las más ligera y comienzan a moverse aceleradamente. La cuestión es calcular con qué aceleración lo hacen.

Para la masa m₁, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la tensión del hilo, de forma que

Puesto que todas las fuerzas son verticales, podemos usar cantidades escalares

y queda

Haciendo los mismo para la segunda masa

Por ser la cuerda inextensible, la aceleración con la que se estira por un lado debe ser exactamente igual que con la que se recoge por otro.

Por otro lado, como el módulo de la tensión del hilo es el mismo a lo largo de todos sus puntos

lo que nos da la ecuación escalar

Restando las dos ecuaciones obtenemos la aceleración

y si queremos la tensión del hilo

La fuerza sobre la polea la da en que está sometida a la tensión que tira de ella por sus dos extremos

Vemos que no es simplemente igual al peso de las dos masas, sino que influye el que éstas estén aceleradas. Esta fuerza debe ser contrarrestada por el anclaje de la polea, que debe ejercer una fuerza igual y de sentido contrario .