Tiro parabólico en pendiente

De Laplace

Revisión a fecha de 11:31 14 ene 2014; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Alcance general
3 Alcance máximo
4 Caso particular

1 Enunciado

Un mortero lanza un proyectil esférico de acero de 5 cm de radio desde un punto sobre el suelo horizontal al pie de una pendiente cuya superficie forma un ángulo $\beta=30^\circ$ con la horizontal. El mortero dispara el proyectil con una velocidad de 21 m/s. Desprecie el rozamiento con el aire y el posible efecto de rotación de la esfera.

Si el proyectil es lanzado con un ángulo α con la horizontal, ¿a qué distancia s del mortero, medida sobre la pendiente, impacta con el suelo?
Halle el valor de α que hace máxima esta distancia.
Suponga que el proyectil se lanza con un ángulo de π/3 con la horizontal. Para este caso, halle:
1. La rapidez que tiene en el momento del impacto.
2. La aceleración tangencial y normal (escalares) en el momento de impacto.
3. La variación en la energía cinética y en la potencial respecto al instante inicial.

Datos: Aceleración de la gravedad $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Densidad de masa del acero: $\rho = 7850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ .

2 Alcance general

En el movimiento del proyectil, se cumplen las ecuaciones horarias

$\left\{\begin{array}{rcl} x & = & v_0\cos(\alpha)t \\ z & = & v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)t-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.$

Por otro lado, en el momento de impacto, el proyectil se encuentra sobre la pendiente, por lo que

$\left\{\begin{array}{rcl} x & = & s\cos(\beta) \\ z & = & s\,\mathrm{sen}(\beta)\end{array}\right.$

Para hallar el punto de impacto, primero despejamos el tiempo de impacto

$t=\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}=\frac{s\cos(\beta)}{v_0\cos(\alpha)}$

y a continuación sustituimos en la coordenada vertical

$s\,\mathrm{sen}(\beta)= z = \frac{s\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}-\frac{g\,\cos^2(\beta)}{s^2}{v_0^2\cos^2(\alpha)}$

Dividiendo por s en cada miembro obtenemos una ecuación de primer grado

$\mathrm{sen}(\beta)=\frac{\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)} - \frac{g\cos^2(\beta)}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}s$

Despejamos de aquí el alcance

$s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\left(\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)-\mathrm{sen}(beta)\cos(\alpha)\right)}{g\cos^2(\beta)}$

Esta expresión se puede simplificar con ayuda de las relaciones trigonométricas y escribirse como

$s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-\beta)}{g\cos^2(\beta)}$

A modo de comprobación, vemos que para un plano horizontal se obtiene el resultado conocido

$(\beta=0) \qquad s = \frac{2v_0^2\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-0)}{g\cdot 1}=\frac{v_0^2\mathrm{sen}(2\alpha)}{g}$

3 Alcance máximo

Para obtener el alcance derivamos la expresión anterior respecto al ángulo de lanzamiento e igualamos a cero

$0=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\alpha}=\frac{2v_0^2}{g\cos^2(\beta)}\left(-\mathrm{sen}(\alpha)\mathrm{sen}(\alpha-\beta)+\cos(\alpha)\cos(\alpha-\beta)\right) = \frac{2v_0^2\cos(2\alpha-\beta)}{g\cos^2(\beta)}$

Esta expresión se anula cuando lo hace el coseno del numerador