Energía de esferas concéntricas

De Laplace

Revisión a fecha de 14:25 19 nov 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en una superficie esférica de radio

a

, que almacena una carga

Q

, distribuida uniformemente sobre ella.

Calcule la energía electrostática almacenada en un sistema de dos superficies esféricas concéntricas de radios $a$ y $b$ , cargadas, respectivamente con cargas $+ Q$ y $- Q$ , distribuidas uniformemente.

¿Se verifica el principio de superposición, esto es, es la energía de las dos esferas la suma de las energías de cada esfera por separado?

2 Solución

2.1 Energía de una superficie esférica

La energía electrostática de una distribución de carga superficial viene dada por

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\int \sigma_s \phi\,\mathrm{d}S$

siendo $\phi\,$ el potencial en los puntos en que se encuentran las cargas. En el caso de una superficie esférica cargada uniformemente, el potencial que crea en todos los puntos del espacio, tal como se ve en otro problema es

$\phi = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r \geq a\end{cases}$

En los puntos de la superficie esférica $r = a$ vale tanto la expresión interior como la exterior por ser el potencial una función continua

$\phi(r=a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}$

y por ello la energía electrostática almacenada por la esfera es

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\int_{r=a}\!\! \sigma_s \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}\,\mathrm{d}S = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0a}\int\sigma_s\,\mathrm{d}S = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}$

dado que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie, puede salir de la integral. El resultado es una función cuadrática de la carga. Esto quiere decir que, tanto si la superficie esférica esta cargada positivamente, como si lo está negativamente, la energía es siempre positiva.

2.2 Energía de dos esferas concéntricas

Para dos superficies esféricas la energía será de la forma

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\int \sigma_s \phi\,\mathrm{d}S=\frac{1}{2}\int_{S_1}\!\! \sigma_1 \phi\,\mathrm{d}S+\frac{1}{2}\int_{S_2}\!\! \sigma_2 \phi\,\mathrm{d}S$

donde el potencial que aparece en cada integral es el total de la distribución (esto es, incluye tanto la contribución de la propia esfera como la de la otra). Obtenemos este potencial por el principio de superposición

$\phi = \phi_1 + \phi_2\,$ $\phi_1 = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r \geq a\end{cases}$ $\phi_2 = \begin{cases}\displaystyle\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 b} & r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r \geq b\end{cases}$

Sumando, resultan tres regiones,

$\phi = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b} & a \leq r \leq b \\ & \\ 0 & r \geq b\end{cases}$

Los potenciales a los que se encuentran las superficies son, respectivamente:

$\phi(r=a)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b}$ $\phi(r=b)=0\,$

y la energía electrostática almacenada

$U_\mathrm{e}= \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\int_{r=a}\!\! \sigma_1\,\mathrm{d}S + 0 \int_{r=b}\!\! \sigma_2\,\mathrm{d}S = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$

Podría parecer, en una primera inspección, que el resultado es la suma de las energía de cada esfera por separado, siendo negativa la de la esfera cargada negativamente, pero esto es erróneo. Según dijimos en el apartado anterior, la energía de una esfera cargada, sea su carga positiva o negativa, es siempre positiva, por lo que la suma de energías individuales debería aparecer con un signo positivo. No se verifica el principio de superposición.

Podemos desarrollar esto matemáticamente, aplicando el principio de superposición a los potenciales, de forma que queda

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\int_{S_1}\!\! \sigma_1 \left(\phi_1+\phi_2\right)\,\mathrm{d}S_1+\frac{1}{2}\int_{S_2}\!\! \sigma_2 \left(\phi_1+\phi_2\right)\,\mathrm{d}S_2= U_{11}+U_{12}+U_{21}+U_{22}$

Los términos

$U_{11}=\frac{1}{2}\int_{S_1}\!\! \sigma_1 \phi_1\,\mathrm{d}S_1 = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}$ $U_{22}=\frac{1}{2}\int_{S_2}\!\! \sigma_2 \phi_2\,\mathrm{d}S_2 = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0b}$

sí representan las energías individuales de cada esfera y son ambos positivos. No obstante, la energía total incluye además dos términos cruzados, correspondientes a la interacción entre las dos esferas

$U_{12}=\frac{1}{2}\int_{S_1}\!\! \sigma_1 \phi_2\,\mathrm{d}S_1 = -\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0b}$ $U_{21}=\frac{1}{2}\int_{S_2}\!\! \sigma_2 \phi_1\,\mathrm{d}S_2 = -\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0b}$ </center>

Estos dos términos son negativos, como corresponde a la interacción de cargas de signo opuesto, son iguales entre sí (lo que constituye una relación de reciprocidad, que es una propiedad general de la energía electrostática), y son responsables de que en la expresión completa de la energía aparezca un signo negativo.

2.3 Cálculo empleando el campo eléctrico

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2.1 Energía de una superficie esférica

2.2 Energía de dos esferas concéntricas

2.3 Cálculo empleando el campo eléctrico

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