Fuerza entre un anillo y un dipolo

De Laplace

Revisión a fecha de 11:45 6 nov 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un anillo circular de radio $a$ , almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente. En el centro del anillo se encuentra un dipolo puntual $\mathbf{p}$ , alineado según el eje de la espira.

Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.
Halle la energía que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.
Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?
Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

2 Solución

2.1 Fuerza del dipolo sobre la espira

La fuerza sobre una distribución de carga lineal es

$\mathbf{F}_{\lambda\mathrm{p}} = \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}_\mathrm{p} = \int \lambda\,\mathbf{E}_\mathrm{p}\,\mathrm{d}l$

siendo $$\mathbf{E}_\mathrm{p}$ el campo externos en los puntos de la distribución. En este caso, este campo es el del dipolo situado en su centro.

Situando el origen de coordenadas en el centro del anillo y el eje $Z$ como el del anillo, el campo del dipolo es

$\mathbf{E}_\mathrm{p} = \frac{3(\mathbf{p}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 r^5} \qquad \mathbf{p} = p\mathbf{u}_{z}$

El campo debe evaluarse en los puntos del anillo. Empleando coordenadas cilíndricas

$\mathbf{r} = a\mathbf{u}_{\rho}$

r = a

$\mathbf{r}{\cdot}\mathbf{p} = 0$ $\mathbf{E}_\mathrm{p}(a\mathbf{u}_{\rho}) = -\frac{p\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0 a^3}$

esto es, en todos los puntos del anillo, el campo del dipolo vale lo mismo. Esto es consecuencia de la simetría acimutal del campo de un dipolo.

La fuerza es entonces

$\mathbf{F}_{\lambda\mathrm{p}} =\int_0^{2\pi}\!\! a\,\mathrm{d}\varphi \lambda \left(-\frac{p\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\right) = -\frac{p\lambda\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 a^2}$

El anillo es empujado hacia abajo por el campo del dipolo, que en todos los puntos del anillo va en la dirección de $-\mathbf{u}_{z}$

2.2 Energía potencial del dipolo

La energía del anillo por hallarse en el centro de la espira es

$U=-\mathbf{p}{\cdot}\mathbf{E}_\lambda(\mathbf{0})$

siendo $\mathbf{E}_\lambda(\mathbf{0})$ el campo del anillo en la posición del dipolo. Este valor lo obtenemos particularizando el campo de un anillo en los puntos de su eje (calculado en otro problema):