Fuerza entre un anillo y un dipolo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un anillo circular de radio $a$ , almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente. En el centro del anillo se encuentra un dipolo puntual $\mathbf{p}$ , alineado según el eje de la espira.

Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.
Halle la energía que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.
Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?
Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

2 Solución

2.1 Fuerza del dipolo sobre la espira

La fuerza sobre una distribución de carga lineal es

$\mathbf{F}_{\lambda\mathrm{p}} = \int \mathrm{d}q\,\mathbf{E}_\mathrm{p} = \int \lambda\,\mathbf{E}_\mathrm{p}\,\mathrm{d}l$

siendo $$\mathbf{E}_\mathrm{p}$ el campo externos en los puntos de la distribución. En este caso, este campo es el del dipolo situado en su centro.

Situando el origen de coordenadas en el centro del anillo y el eje $Z$ como el del anillo, el campo del dipolo es

$\mathbf{E}_\mathrm{p} = \frac{3(\mathbf{p}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 r^5} \qquad \mathbf{p} = p\mathbf{u}_{z}$

El campo debe evaluarse en los puntos del anillo. Empleando coordenadas cilíndricas $\mathbf{r} = a\mathbf{u}_{\rho}$

r = a

$\mathbf{r}{\cdot}\mathbf{p} = 0$ $\mathbf{E}_\mathrm{p}(a\mathbf{u}_{\rho}) = -\frac{p\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0 a^3}$

esto es, en todos los puntos del anillo, el campo del dipolo vale lo mismo. Esto es consecuencia de la simetría acimutal del campo de un dipolo.

La fuerza es entonces

$\mathbf{F}_{\lambda\mathrm{p}} =\int_0^{2\pi}\!\! a\,\mathrm{d}\varphi \lambda \left(-\frac{p\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\right) = -\frac{p\lambda\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 a^2}$

El anillo es empujado hacia abajo por el campo del dipolo, que en todos los puntos del anillo va en la dirección de $-\mathbf{u}_{z}$

2.2 Energía potencial del dipolo

La energía del anillo por hallarse en el centro de la espira es

$U=-\mathbf{p}{\cdot}\mathbf{E}_\lambda(\mathbf{0})$

siendo $\mathbf{E}_\lambda(\mathbf{0})$ el campo del anillo en la posición del dipolo. Este valor lo obtenemos particularizando el campo de un anillo en los puntos de su eje (calculado en otro problema):

$\mathbf{E}_\mathrm{\lambda}(z\mathbf{u}_{z}) = \frac{\lambda a z\,\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 (a^2+z^2)^{3/2}}$

que en el centro se reduce a

$\mathbf{E}_\lambda(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

por lo que

$U = -\mathbf{p}{\cdot}\mathbf{E} = 0$

2.3 Fuerza de la espira sobre el dipolo

Para hallar la fuerza que el anillo ejerce sobre el dipolo aplicamos que

$\mathbf{F}_{\mathrm{p}\lambda}= (\mathbf{p}{\cdot}\nabla)\mathbf{E}_\lambda$

Para aplicar el operador $(\mathbf{p}{\cdot}\nabla)$ debemos poder derivar el campo creado por el anillo. Sin embargo, sólo conocemos la expresión del campo en los puntos de su eje (para todo $z$ , con $x = y = 0$ ), indicada en el apartado anterior, por lo que podemos derivar respecto a $z$ pero no respecto a $x$ e $y$ . Afortunadamente, esto es todo lo que necesitamos, ya que el dipolo se encuentra alineado con el eje ( $\mathbf{p}=p\mathbf{u}_{z}$ ), por lo que

$\mathbf{p}{\cdot}\nabla = p\frac{\partial \ }{\partial z}$

y la fuerza sobre el dipolo es

$\mathbf{F}_{\mathrm{p}\lambda}= p\frac{\partial \ }{\partial z}\left(\frac{\lambda a z\,\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 (a^2+z^2)^{3/2}}\right)$

Derivando y sustituyendo $z$ por 0 (la posición del dipolo) queda

$\mathbf{F}_{\mathrm{p}\lambda}= \left.\frac{p\lambda a(a^2-2z^2)\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0(a^2+z^2)^{5/2}}\right|_{z=0} = \frac{p\lambda\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 a^2}$

El dipolo es empujado hacia arriba por el campo del anillo. Podemos entender esto observando que la carga positiva del dipolo, que está ligeramente por encima del plano del anillo es repelida hacia arriba, mientras que la carga negativa, situada ligeramente por debajo, es atraída por el anillo (de nuevo hacia arriba).

Nótese que no hay contradicción alguna entre que la energía del dipolo sea nula, y que esté sometido a una cierta fuerza. Lo primero requiere el valor del campo en el centro mientras que lo segundo requiere su derivada en el mismo punto, por lo que se trata de cantidades independientes.

Como era de esperar resulta una fuerza que verifica la tercera ley de Newton respecto a la calculada en el apartado anterior

$\mathbf{F}_{\lambda\mathrm{p}}=-\mathbf{F}_{\mathrm{p}\lambda}$

2.4 Par sobre el dipolo

El par que puede ejercer el anillo sobre el dipolo es

$\mathbf{\tau} = \mathbf{p}\times \mathbf{E} = \mathbf{0}$

ya que, como hemos visto en el segundo apartado, el campo en el centro del anillo es nulo, por lo que el anillo no ejerce momento alguno sobre el dipolo.

Fuerza entre un anillo y un dipolo

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Fuerza del dipolo sobre la espira

2.2 Energía potencial del dipolo

2.3 Fuerza de la espira sobre el dipolo

2.4 Par sobre el dipolo

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