Coordenadas esféricas. Base vectorial

Revisión a fecha de 20:13 20 nov 2007; Gonfer (Discusión | contribuciones)

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La coordenada ${\varphi}$ es la misma que en cilíndricas, por lo que su vector unitario es también el mismo

$\mathbf{u}_\varphi = \mathbf{u}_\varphi= -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}$

Para $\mathbf{u}_{r}\,$ y $\mathbf{u}_{\theta}\,$ construimos un nuevo triángulo rectángulo, éste sobre un plano ${\varphi}=\mathrm{cte}$ .

El vector $\mathbf{u}_{r}\,$ va en la dirección radial, por lo que se relaciona con la base cilíndrica como

$\mathbf{u}_{r}= \mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\rho}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}$

y, sustituyendo la relación con la base cartesiana

$\mathbf{u}_{r}=\mathrm{sen}\,\theta\,\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}$

mientras que $\mathbf{u}_{\theta}\,$ es tangente al meridiano de radio $r\,$ y apunta hacia el sur

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\mathbf{u}_{\rho}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$

y, en términos de la base cartesiana,

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$