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Dos masas unidas en un aro

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos pequeñas masas iguales m_1=m_2=m=50\,\mathrm{g} se encuentran ensartadas en un aro circular de radio R=50\,\mathrm{cm} (de masa despreciable). Las masas están unidas entre sí por una varilla rígida de longitud H=60\,\mathrm{cm} y masa despreciable. La masa m1 se mueve en todo momento con rapidez v_0=10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}.

  1. Empleando el sistema de ejes de la figura en el que el eje OX es ortogonal a la varilla, determine las posiciones, velocidades y aceleraciones de ambas masas y del centro de masas del sistema.
  2. Calcule la velocidad angular del sistema de dos masas.
  3. Halle el momento cinético y la energía cinética del sistema respecto al centro del aro y respecto al centro de masas.
  4. Calcule la fuerza que el aro ejerce sobre cada una de las masas. Determine la resultante y el momento resultante de estas fuerzas respecto al centro del anillo y respecto al centro de masas.
Archivo:dos-masas-aro.png

2 Posiciones, velocidades y aceleraciones

2.1 Posiciones

Obtenemos las tres posiciones casi por simple inspección.

Masa 1
Conocemos su coordenada y, ya que por simetría, el OX pasa por el centro de la varilla
y_1 = \frac{H}{2}=30\,\mathrm{cm}
y calculamos su coordenada x aplicando el teorema de Pitágoras
x = \sqrt{50^2-30^2}\,\mathrm{cm} = 40\,\mathrm{cm}
lo que nos da el vector de posición
\vec{r}_1 = \left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}
Masa 2
Su posición es la simétrica de la 1.
\vec{r}_2 = \left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}
Centro de masas
Por ser las dos masas iguales, el CM está en el punto medio entre las dos
\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)+50\left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)}{100}\mathrm{cm}=\left(40\vec{\imath}\right)\,\mathrm{cm}

2.2 Velocidades

De la masa 1 conocemos su rapidez

\left|\vec{v}_1\right|=v_0 = 10\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

De esta masa sabemos describe una trayectoria circular alrededor del origen. Por tanto, su velocidad es tangente a la circunferencia y perpendicular al vector de posición. Si el vector de posición es de la forma

\vec{r}_1 = R\left(\cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}\right)

la velocidad es de la forma

\vec{v}_1 = R\left(-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}\right)

En este caso tenemos que

\mathrm{sen}(\varphi) = \frac{30}{50}=0.6\qquad\qquad\cos(\varphi)=\frac{40}{50} = 0.8

por lo que la velocidad de la masa 1 vale

\vec{v}_1 = 10\left(-0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} = \left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

3 Velocidad angular

4 Momento cinético y energía cinética

5 Fuerzas y momentos

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_masas_unidas_en_un_aro"

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